Num determinado processo de fabricação, 10 % das peças são consideradas defeituosas. As peças são acondicionadas em caixas com 5 unidades cada uma. Então:
b) Qual a probabilidade de haver duas ou mais peças defeituosas numa caixa? (Resposta: 0,08146 )

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um processo de fabricação onde 10% das peças são defeituosas. As peças são embaladas em caixas contendo 5 unidades cada. O objetivo aqui é calcular a probabilidade de que, em uma caixa, haja duas ou mais peças defeituosas.
Para resolver isso, vamos utilizar a Distribuição Binomial, que é adequada para situações onde temos um número fixo de tentativas independentes (neste caso, 5 peças por caixa), cada uma com duas possibilidades de resultado (defeituosa ou não defeituosa), e a mesma probabilidade de sucesso (10% de ser defeituosa) em cada tentativa.

Passo 2

Vamos definir os parâmetros da Distribuição Binomial para este problema:
  • n (número de tentativas) = 5 (pois há 5 peças por caixa)
  • p (probabilidade de sucesso, ou seja, de uma peça ser defeituosa) = 0,10
Estamos procurando a probabilidade de ter k ≥ 2 peças defeituosas em uma caixa.

Passo 3

Para encontrar a probabilidade de ter duas ou mais peças defeituosas, é mais fácil calcular primeiro a probabilidade de ter menos de duas peças defeituosas (ou seja, 0 ou 1 peça defeituosa) e depois subtrair esse valor de 1.
Matematicamente:
P(X >= 2) = 1 - P(X < 2) = 1 - [P(X = 0) + P(X = 1)]

Passo 4

Vamos calcular a probabilidade de nenhuma peça defeituosa na caixa, ou seja, P(X = k) = binomnk cdot p^k cdot (1 - p)^n - k .
A fórmula da Distribuição Binomial é:
P(X = 0) = binom50 cdot (0,10)^0 cdot (0,90)^5 = 1 cdot 1 cdot 0,59049 = 0,59049
Para :

Passo 5

Agora, vamos calcular a probabilidade de ter exatamente uma peça defeituosa na caixa, ou seja, P(X = 1) = binom51 cdot (0,10)^1 cdot (0,90)^4 = 5 cdot 0,10 cdot 0,6561 = 0,32805 .
Para :

Passo 6

Agora, somamos as probabilidades de P(X < 2) = P(X = 0) + P(X = 1) = 0,59049 + 0,32805 = 0,91854 e :

Passo 7

Finalmente, subtraímos esse resultado de 1 para encontrar a probabilidade de ter duas ou mais peças defeituosas:
P(X >= 2) = 1 - P(X < 2) = 1 - 0,91854 = 0,08146

Resposta

A probabilidade de haver duas ou mais peças defeituosas numa caixa é de 0,08146.

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