Um determinado sistema massa-mola satisfaz o problema de valor inicial
onde
e
é um parâmetro. Suponha que
. Encontre o instante
após o qual
para todo
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um sistema massa-mola que segue uma equação diferencial com condições iniciais. A gente vai precisar usar conhecimentos de equações diferenciais lineares, solução de equações com termos forçados (a parte com
), e aplicar condições iniciais para encontrar a solução completa. Nosso objetivo é descobrir o tempo
depois do qual o movimento
fica menor que 0,1 para todo
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação diferencial dada:
Aqui,
é a segunda derivada de
em relação ao tempo, representando a aceleração,
é a primeira derivada, representando a velocidade, e
é a posição. O termo
indica um amortecimento no sistema, e
é a força externa aplicada.
Sabemos que
, onde
é a função de Heaviside que “liga” a força em
. Assim,
representa uma força que atua entre
s e
s.
Com
, nossa equação fica:
Passo 3
Vamos resolver a equação diferencial dividindo-a em duas partes: a solução da equação homogênea (sem o termo forçado) e a solução particular (causada pela força externa).
Primeiro, resolvemos a equação homogênea:
Para isso, buscamos soluções da forma
. Substituindo na equação, temos:
Resolvendo a equação quadrática, encontramos as raízes complexas:
Isso significa que a solução homogênea é:
Passo 4
Agora, encontramos a solução particular
que responde à força externa
. Como a força é um pulso entre
s e
s, a solução particular será diferente nesses intervalos.
Para
s e
s,
, então
.
Para
s,
, então a equação fica:
A solução particular para uma constante forçada é também uma constante. Vamos supor
. Substituindo na equação:
Então, durante o pulso, a solução é
.
Passo 5
Com as soluções homogênea e particular encontradas, a solução geral
do sistema é a soma delas:
Para
s:
Para
s:
Para
s:
Agora, aplicamos as condições iniciais
e
para encontrar as constantes
e
.
Passo 6
Aplicando
:
Aplicando
:
Calculamos a derivada de
:
Substituindo
e
:
Então, a solução homogênea simplificada é zero, e a solução geral para
s é
.
Passo 7
Durante o intervalo
s, a solução é:
Após
s, a força externa é removida, e o sistema volta a ser homogêneo com
.
Passo 8
Agora, queremos encontrar o instante
após o qual
para todo
. Observando a solução:
- Para
s: - Para
s: - Para
s:
Após
s,
, que é menor que 0,1. Portanto, qualquer
s satisfaz a condição.
Resposta
O instante
após o qual
para todo
é
segundos.