Um determinado sistema massa-mola satisfaz o problema de valor inicial
onde e é um parâmetro. Suponha que . Encontre o instante após o qual para todo .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um sistema massa-mola que segue uma equação diferencial com condições iniciais. A gente vai precisar usar conhecimentos de equações diferenciais lineares, solução de equações com termos forçados (a parte com ), e aplicar condições iniciais para encontrar a solução completa. Nosso objetivo é descobrir o tempo depois do qual o movimento fica menor que 0,1 para todo .

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação diferencial dada:
Aqui, é a segunda derivada de em relação ao tempo, representando a aceleração, é a primeira derivada, representando a velocidade, e é a posição. O termo indica um amortecimento no sistema, e é a força externa aplicada.
Sabemos que , onde é a função de Heaviside que “liga” a força em . Assim, representa uma força que atua entre s e s.
Com , nossa equação fica:

Passo 3

Vamos resolver a equação diferencial dividindo-a em duas partes: a solução da equação homogênea (sem o termo forçado) e a solução particular (causada pela força externa).
Primeiro, resolvemos a equação homogênea:
Para isso, buscamos soluções da forma . Substituindo na equação, temos:
Resolvendo a equação quadrática, encontramos as raízes complexas:
Isso significa que a solução homogênea é:

Passo 4

Agora, encontramos a solução particular que responde à força externa . Como a força é um pulso entre s e s, a solução particular será diferente nesses intervalos.
Para s e s, , então .
Para s, , então a equação fica:
A solução particular para uma constante forçada é também uma constante. Vamos supor . Substituindo na equação:
Então, durante o pulso, a solução é .

Passo 5

Com as soluções homogênea e particular encontradas, a solução geral do sistema é a soma delas:
Para s:
Para s:
Para s:
Agora, aplicamos as condições iniciais e para encontrar as constantes e .

Passo 6

Aplicando :
Aplicando :
Calculamos a derivada de :
Substituindo e :
Então, a solução homogênea simplificada é zero, e a solução geral para s é .

Passo 7

Durante o intervalo s, a solução é:
Após s, a força externa é removida, e o sistema volta a ser homogêneo com .

Passo 8

Agora, queremos encontrar o instante após o qual para todo . Observando a solução:
  • Para s:
  • Para s:
  • Para s:
Após s, , que é menor que 0,1. Portanto, qualquer s satisfaz a condição.

Resposta

O instante após o qual para todo é segundos.

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Mostre que a solução do PVI
é dada por .
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