Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma soma infinita que é assim:
O conteúdo que vamos usar aqui é de somatórios de séries e frações parciais. Para resolver, a gente vai precisar entender como simplificar termos que têm a forma
e depois ver o que acontece quando somamos todos esses termos até o infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar só um termo geral da série, que é
. Para simplificar isso, a gente pode usar frações parciais. A ideia é escrever
como a soma de duas frações menores.
Vamos chamar:
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar os denominadores:
Expandindo:
Agrupando os termos com
:
Para que essa igualdade seja verdadeira para todo
, os coeficientes de
e o termo constante devem ser iguais em ambos os lados. Então:
- Coeficiente de
: - Termo constante:
Resolvendo o sistema:
- De
, já temos - Substituindo em
: então
Então, a fração fica:
Portanto, o termo geral da série pode ser reescrito como:
Passo 3
Agora, vamos reescrever toda a série usando essa simplificação:
Vamos somar os primeiros termos para ver o que acontece:
Observa-se que muitos termos se cancelam:
Tudo que sobra são o primeiro termo e o limite quando
tende ao infinito:
Como
, fica:
Resposta
A soma da série infinita é 5.
Exercícios relacionados
Calcule a Transformada de Laplace
, sendo:
Um determinado sistema massa-mola satisfaz o problema de valor inicial
onde
e
é um parâmetro. Suponha que
. Encontre o instante
após o qual
para todo
.
Encontre a solução geral das seguintes equações de Euler-Cauchy:
Avalie a integral.