5/(1*2) + 5/(2*3) + 5/(3*4) + ... + 5/(n(n+1)) + ...

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma soma infinita que é assim:
O conteúdo que vamos usar aqui é de somatórios de séries e frações parciais. Para resolver, a gente vai precisar entender como simplificar termos que têm a forma e depois ver o que acontece quando somamos todos esses termos até o infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar só um termo geral da série, que é . Para simplificar isso, a gente pode usar frações parciais. A ideia é escrever como a soma de duas frações menores.
Vamos chamar:
Multiplicando ambos os lados por n(n+1) para eliminar os denominadores:
Expandindo:
Agrupando os termos com n:
Para que essa igualdade seja verdadeira para todo n, os coeficientes de n e o termo constante devem ser iguais em ambos os lados. Então:
  • Coeficiente de n:
  • Termo constante:
Resolvendo o sistema:
  • De , já temos
  • Substituindo em : então
Então, a fração fica:
Portanto, o termo geral da série pode ser reescrito como:

Passo 3

Agora, vamos reescrever toda a série usando essa simplificação:
Vamos somar os primeiros termos para ver o que acontece:
Observa-se que muitos termos se cancelam:
Tudo que sobra são o primeiro termo e o limite quando n tende ao infinito:
Como , fica:

Resposta

A soma da série infinita é 5.

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