Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma soma infinita que é assim:
O conteúdo que vamos usar aqui é de somatórios de séries e frações parciais. Para resolver, a gente vai precisar entender como simplificar termos que têm a forma e depois ver o que acontece quando somamos todos esses termos até o infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar só um termo geral da série, que é . Para simplificar isso, a gente pode usar frações parciais. A ideia é escrever como a soma de duas frações menores.
Vamos chamar:
Multiplicando ambos os lados por para eliminar os denominadores:
Expandindo:
Agrupando os termos com :
Para que essa igualdade seja verdadeira para todo , os coeficientes de e o termo constante devem ser iguais em ambos os lados. Então:
  • Coeficiente de :
  • Termo constante:
Resolvendo o sistema:
  • De , já temos
  • Substituindo em : então
Então, a fração fica:
Portanto, o termo geral da série pode ser reescrito como:

Passo 3

Agora, vamos reescrever toda a série usando essa simplificação:
Vamos somar os primeiros termos para ver o que acontece:
Observa-se que muitos termos se cancelam:
Tudo que sobra são o primeiro termo e o limite quando tende ao infinito:
Como , fica:

Resposta

A soma da série infinita é 5.

Exercícios relacionados

Calcule a Transformada de Laplace , sendo:
Um determinado sistema massa-mola satisfaz o problema de valor inicial
onde e é um parâmetro. Suponha que . Encontre o instante após o qual para todo .
Encontre a solução geral das seguintes equações de Euler-Cauchy:
Avalie a integral.