Determinado sistema pode apresentar 3 tipos diferentes de falhas. Represente por Ai (i=1,2,3) o evento em que o sistema apresenta a falha do tipo i. Suponha que
  • P(A1)=0.12, P(A2)=0.07, P(A3)=0.05
  • P(A1 cup A2)=0.13, P(A1 cup A3)=0.14, P(A2 cup A3)=0.10
  • P(A1 cap A2 cap A3)=0.01
    Pergunta-se: (h) Dado que o sistema apresenta as falhas 1 e 2, qual a probabilidade de que ele não apresente o terceiro tipo de falha?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um sistema que pode falhar de três jeitos diferentes: falha 1, falha 2 e falha 3. A gente sabe as probabilidades de cada falha acontecer individualmente e também algumas combinações delas. A pergunta é: se o sistema já apresentou as falhas 1 e 2, qual a chance de ele não apresentar a falha 3? Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade condicional e complementar.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que significa “probabilidade condicional”. Quando a gente quer saber a probabilidade de um evento A acontecer dado que outro evento B já aconteceu, a gente usa a fórmula:
P(A|B) = P(A cap B)P(B)
No nosso caso, queremos saber a probabilidade de não ter a falha 3 dado que já teve as falhas 1 e 2. Ou seja, queremos .

Passo 3

Para achar , vamos primeiro achar e depois usar que .
Então, vamos calcular .

Passo 4

Temos que P(A1 cup A2) = P(A1) + P(A2) - P(A1 cap A2) . Agora, precisamos descobrir 0.13 = 0.12 + 0.07 - P(A1 cap A2) . Para isso, usamos a regra da inclusão-exclusão:
P(A1 cap A2) = 0.12 + 0.07 - 0.13 = 0.06
Sabemos que , e . Substituindo:
Resolvendo para :

Passo 5

Agora que temos P(A3|A1 cap A2) = 0.010.06 approx 0.1667 , podemos calcular :

Passo 6

Finalmente, queremos a probabilidade de não ter a falha 3 dado que já teve as falhas 1 e 2:
P(A3|A1 cap A2) = 1 - P(A3|A1 cap A2) = 1 - 0.1667 = 0.8333

Resposta

A probabilidade de que o sistema não apresente a terceira falha, dado que já apresentou as falhas 1 e 2, é de aproximadamente 83,33%.

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