Determinado sistema pode apresentar 3 tipos diferentes de falhas. Represente por o evento em que o sistema apresenta a falha do tipo . Suponha que
Pergunta-se: (h) Dado que o sistema apresenta as falhas 1 e 2, qual a probabilidade de que ele não apresente o terceiro tipo de falha?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um sistema que pode falhar de três jeitos diferentes: falha 1, falha 2 e falha 3. A gente sabe as probabilidades de cada falha acontecer individualmente e também algumas combinações delas. A pergunta é: se o sistema já apresentou as falhas 1 e 2, qual a chance de ele não apresentar a falha 3? Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade condicional e complementar.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que significa “probabilidade condicional”. Quando a gente quer saber a probabilidade de um evento A acontecer dado que outro evento B já aconteceu, a gente usa a fórmula:
No nosso caso, queremos saber a probabilidade de não ter a falha 3 dado que já teve as falhas 1 e 2. Ou seja, queremos .
Passo 3
Para achar , vamos primeiro achar e depois usar que .
Então, vamos calcular .
Passo 4
Temos que P(A1 cup A2) = P(A1) + P(A2) - P(A1 cap A2) . Agora, precisamos descobrir 0.13 = 0.12 + 0.07 - P(A1 cap A2) . Para isso, usamos a regra da inclusão-exclusão:
P(A1 cap A2) = 0.12 + 0.07 - 0.13 = 0.06
Sabemos que , e . Substituindo:
Resolvendo para :
Passo 5
Agora que temos P(A3|A1 cap A2) = 0.010.06 approx 0.1667 , podemos calcular :
Passo 6
Finalmente, queremos a probabilidade de não ter a falha 3 dado que já teve as falhas 1 e 2:
P(A3|A1 cap A2) = 1 - P(A3|A1 cap A2) = 1 - 0.1667 = 0.8333
Resposta
A probabilidade de que o sistema não apresente a terceira falha, dado que já apresentou as falhas 1 e 2, é de aproximadamente 83,33%.