Uma urna tem 4 bolas brancas e 3 pretas. Retiram-se 3 bolas sem reposição. Seja X : número de bolas brancas, determinar a distribuição de probabilidades de X .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma urna com 4 bolas brancas e 3 pretas, totalizando 7 bolas. Vamos retirar 3 bolas dessa urna, uma de cada vez, sem colocar de volta (isso chama-se retirada sem reposição). Nosso objetivo é descobrir as probabilidades de tirar 0, 1, 2 ou 3 bolas brancas. Para isso, vamos usar conceitos de probabilidade combinatória, que nos ajudam a contar as diferentes maneiras de ocorrerem esses eventos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender quais são os possíveis valores que X, o número de bolas brancas retiradas, pode assumir. Como temos 4 bolas brancas na urna e estamos retirando 3 bolas no total, X pode ser 0, 1, 2 ou 3.

Passo 3

Agora, vamos calcular a probabilidade de cada um desses casos. Para isso, vamos usar a fórmula da distribuição hipergeométrica, que é adequada quando estamos lidando com retiradas sem reposição. A fórmula é:
P(X = k) = dbinomCk dbinomN - Cn - kdbinomNn
Onde:
  • é o número total de objetos (7 bolas).
  • é o número total de objetos de uma categoria específica (4 bolas brancas).
  • é o número de objetos retirados (3 bolas).
  • é o número de objetos da categoria específica que queremos (número de bolas brancas retiradas).

Passo 4

Vamos calcular a combinação total de maneiras de retirar 3 bolas de 7, que é o denominador da nossa fórmula:
dbinom73 = 7!3!(7-3)! = 35

Passo 5

Agora, vamos calcular para cada caso o numerador da fórmula:
  • Para dbinom40 dbinom33 = 1 times 1 = 1 (nenhuma bola branca):
    dbinom41 dbinom32 = 4 times 3 = 12
  • Para dbinom42 dbinom31 = 6 times 3 = 18 (uma bola branca):
    dbinom43 dbinom30 = 4 times 1 = 4
  • Para (duas bolas brancas):
  • Para (três bolas brancas):

Passo 6

Agora, vamos calcular a probabilidade de cada caso dividindo o numerador pelo denominador (35):
  • P(X = 0) = 135 approx 0,0286 ou 2,86% :
    P(X = 1) = 1235 approx 0,3429 ou 34,29%
  • P(X = 2) = 1835 approx 0,5143 ou 51,43% :
    P(X = 3) = 435 approx 0,1143 ou 11,43%
  • :
  • :

Resposta

A distribuição de probabilidades de P(X = 0) = 135 approx 2,86% P(X = 1) = 1235 approx 34,29% P(X = 2) = 1835 approx 51,43% P(X = 3) = 435 approx 11,43% é:

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