Mostre que se X e Y são independentes então:
a. Cov(X, Y)=0;
b. Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que tem duas partes. A gente vai trabalhar com conceitos de covariância e variância de variáveis aleatórias, e entender como elas se comportam quando as variáveis são independentes. Para isso, vamos precisar lembrar das definições de covariância, variância e o que significa duas variáveis serem independentes.

Passo 2

Primeiro, vamos para a parte a: Mostrar que se Cov(X, Y) = E[(X - E[X])(Y - E[Y])] e Cov(X, Y) = E[XY] - E[X]E[Y] são independentes, então E[XY] = E[X] cdot E[Y] .
A covariância entre duas variáveis Cov(X, Y) = E[X]E[Y] - E[X]E[Y] = 0 e é dada por:
Isso também pode ser escrito como:
Agora, se e são independentes, a expectativa do produto é o produto das expectativas:
Substituindo isso na fórmula da covariância:

Passo 3

Agora, vamos para a parte b: Mostrar que se Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y) + 2Cov(X, Y) e Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y) + 2 cdot 0 = Var(X) + Var(Y) são independentes, então .
A variância da soma de duas variáveis e é dada por:
Mas, da parte a, já vimos que quando e são independentes. Então, substituindo:

Resposta

Assim, mostramos que:
a. ;
b. .

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