Mostre que se
e
são independentes então:
a.
;
b.
.
a.
b.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que tem duas partes. A gente vai trabalhar com conceitos de covariância e variância de variáveis aleatórias, e entender como elas se comportam quando as variáveis são independentes. Para isso, vamos precisar lembrar das definições de covariância, variância e o que significa duas variáveis serem independentes.
Passo 2
Primeiro, vamos para a parte a: Mostrar que se
e
são independentes, então
.
A covariância entre duas variáveis
e
é dada por:
Isso também pode ser escrito como:
Agora, se
e
são independentes, a expectativa do produto é o produto das expectativas:
Substituindo isso na fórmula da covariância:
Passo 3
Agora, vamos para a parte b: Mostrar que se
e
são independentes, então
.
A variância da soma de duas variáveis
e
é dada por:
Mas, da parte a, já vimos que
quando
e
são independentes. Então, substituindo:
Resposta
Assim, mostramos que:
a. ;
b. .
a.
b.