Um exame de laboratório tem probabilidade de 0,95 de resultar positivo se uma pessoa sofre de determinada doença (positivo verdadeiro) e probabilidade de 0,10 de resultar em positivo mesmo se a pessoa não sofre dessa doença (positivo falso). Estima-se que 0,5 % da população tenha referida doença. Suponha que o exame seja administrado a uma pessoa sobre a qual nada de relevante se sabe sobre a presença ou não da doença. Calcule as probabilidade de que (b) dado que o resultado foi positivo, a pessoa tenha a doença.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exame de laboratório que verifica se uma pessoa tem uma doença específica. A probabilidade de o exame dar positivo se a pessoa realmente tiver a doença é de 95% (ou 0,95), e a chance de dar positivo mesmo se a pessoa não tiver a doença é de 10% (ou 0,10). Além disso, só 0,5% da população tem essa doença. Nosso objetivo aqui é descobrir qual a probabilidade de uma pessoa realmente ter a doença, dado que o exame deu positivo. Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade condicional e o Teorema de Bayes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa “probabilidade condicional”. Basicamente, é a probabilidade de um evento acontecer dado que outro evento já ocorreu. No nosso caso, queremos saber a probabilidade de ter a doença dado que o exame deu positivo, ou seja, ç.

Passo 3

Para calcular essa probabilidade, vamos usar o Teorema de Bayes. Ele nos ajuda a inverter a condição das probabilidades. A fórmula do Teorema de Bayes é:
P(Doença | Positivo) = P(Positivo | Doença) times P(Doença)P(Positivo) ççç

Passo 4

Agora, vamos calcular cada parte dessa fórmula:
  1. P(Positivo) = P(Positivo | Doença) times P(Doença) + P(Positivo | Não Doença) times P(Não Doença) ç: Já sabemos que é 0,95.
  2. P(Positivo) = (0,95 times 0,005) + (0,10 times 0,995) = 0,00475 + 0,0995 = 0,10425 ç: A prevalência da doença na população é 0,5%, ou seja, 0,005.
  3. : Essa é a probabilidade de o exame dar positivo, independentemente de a pessoa ter ou não a doença. Podemos calcular isso usando a Regra da Probabilidade Total:
ççãçãç
Substituindo os valores:

Passo 5

Agora que temos todos os valores, vamos substituir na fórmula do Teorema de Bayes:
P(Doença | Positivo) = 0,95 times 0,0050,10425 = 0,004750,10425 approx 0,0456 ç

Resposta

A probabilidade de que uma pessoa tenha a doença, dado que o exame deu positivo, é de aproximadamente 4,56%.

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