Um exame de laboratório tem probabilidade de 0,95 de resultar positivo se uma pessoa sofre de determinada doença (positivo verdadeiro) e probabilidade de 0,10 de resultar em positivo mesmo se a pessoa não sofre dessa doença (positivo falso). Estima-se que
da população tenha referida doença. Suponha que o exame seja administrado a uma pessoa sobre a qual nada de relevante se sabe sobre a presença ou não da doença. Calcule as probabilidade de que (b) dado que o resultado foi positivo, a pessoa tenha a doença.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exame de laboratório que verifica se uma pessoa tem uma doença específica. A probabilidade de o exame dar positivo se a pessoa realmente tiver a doença é de 95% (ou 0,95), e a chance de dar positivo mesmo se a pessoa não tiver a doença é de 10% (ou 0,10). Além disso, só 0,5% da população tem essa doença. Nosso objetivo aqui é descobrir qual a probabilidade de uma pessoa realmente ter a doença, dado que o exame deu positivo. Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade condicional e o Teorema de Bayes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa “probabilidade condicional”. Basicamente, é a probabilidade de um evento acontecer dado que outro evento já ocorreu. No nosso caso, queremos saber a probabilidade de ter a doença dado que o exame deu positivo, ou seja,
.
Passo 3
Para calcular essa probabilidade, vamos usar o Teorema de Bayes. Ele nos ajuda a inverter a condição das probabilidades. A fórmula do Teorema de Bayes é:
Passo 4
Agora, vamos calcular cada parte dessa fórmula:
-
: Já sabemos que é 0,95. -
: A prevalência da doença na população é 0,5%, ou seja, 0,005. -
: Essa é a probabilidade de o exame dar positivo, independentemente de a pessoa ter ou não a doença. Podemos calcular isso usando a Regra da Probabilidade Total:
Substituindo os valores:
Passo 5
Agora que temos todos os valores, vamos substituir na fórmula do Teorema de Bayes:
Resposta
A probabilidade de que uma pessoa tenha a doença, dado que o exame deu positivo, é de aproximadamente 4,56%.
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