Determinado sistema pode apresentar 3 tipos diferentes de falhas. Represente por Ai (i=1,2,3) o evento em que o sistema apresenta a falha do tipo i. Suponha que
  • P(A1)=0.12, P(A2)=0.07, P(A3)=0.05
  • P(A1 cup A2)=0.13, P(A1 cup A3)=0.14, P(A2 cup A3)=0.10
  • P(A1 cap A2 cap A3)=0.01
    Pergunta-se: (g) Dado que o sistema tem pelo menos um tipo de falha, qual a probabilidade de que ele tenha exatamente um tipo de falha?

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um sistema que pode apresentar três tipos diferentes de falhas, representadas por , e . As probabilidades de cada falha individual e das combinações de falhas são fornecidas. A pergunta é: Dado que o sistema apresenta pelo menos um tipo de falha, qual a probabilidade de que ele tenha exatamente um tipo de falha?
Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de probabilidade como união e interseção de eventos, além da regra da probabilidade condicional.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a probabilidade de o sistema apresentar pelo menos um tipo de falha, ou seja, a probabilidade da união dos três eventos P(A1 cup A2 cup A3) = P(A1) + P(A2) + P(A3) - P(A1 cap A2) - P(A1 cap A3) - P(A2 cap A3) + P(A1 cap A2 cap A3) , e . Podemos usar a fórmula da inclusão-exclusão para três eventos:

Passo 3

Antes de aplicar a fórmula, precisamos calcular as probabilidades das interseções entre dois eventos. Sabemos que:
P(Ai cup Aj) = P(Ai) + P(Aj) - P(Ai cap Aj)
Rearranjando para encontrar P(Ai cap Aj) = P(Ai) + P(Aj) - P(Ai cup Aj) :
Vamos calcular cada interseção:

Passo 4

Agora, aplicando a fórmula da inclusão-exclusão:
P(A1 cup A2 cup A3) = 0.12 + 0.07 + 0.05 - 0.06 - 0.03 - 0.02 + 0.01 = 0.14
Portanto, a probabilidade de ter pelo menos uma falha é de 14%.

Passo 5

Em seguida, precisamos calcular a probabilidade de o sistema ter exatamente um tipo de falha. Isso significa que apenas P(A1 apenas) = P(A1) - P(A1 cap A2) - P(A1 cap A3) + P(A1 cap A2 cap A3) = 0.12 - 0.06 - 0.03 + 0.01 = 0.04 , ou apenas P(A2 apenas) = P(A2) - P(A1 cap A2) - P(A2 cap A3) + P(A1 cap A2 cap A3) = 0.07 - 0.06 - 0.02 + 0.01 = 0.00 , ou apenas P(A3 apenas) = P(A3) - P(A1 cap A3) - P(A2 cap A3) + P(A1 cap A2 cap A3) = 0.05 - 0.03 - 0.02 + 0.01 = 0.01 ocorre, sem combinações com os outros eventos.
Vamos calcular cada caso:
  1. Apenas :
  1. Apenas :
  1. Apenas :

Passo 6

Somando as probabilidades de cada caso:
P(Exatamente um tipo de falha) = 0.04 + 0.00 + 0.01 = 0.05
Então, a probabilidade de ter exatamente um tipo de falha é de 5%.

Passo 7

Finalmente, queremos a probabilidade condicional de ter exatamente um tipo de falha, dado que há pelo menos uma falha. A fórmula para probabilidade condicional é:
P(Exatamente um mid Pelo menos um) = P(Exatamente um)P(Pelo menos um) = 0.050.14 approx 0.357

Resposta

A probabilidade de que o sistema tenha exatamente um tipo de falha, dado que ele apresenta pelo menos um tipo de falha, é aproximadamente 35,7%.

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