Determinado sistema pode apresentar 3 tipos diferentes de falhas. Represente por o evento em que o sistema apresenta a falha do tipo . Suponha que

  • Pergunta-se: (g) Dado que o sistema tem pelo menos um tipo de falha, qual a probabilidade de que ele tenha exatamente um tipo de falha?

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um sistema que pode apresentar três tipos diferentes de falhas, representadas por , e . As probabilidades de cada falha individual e das combinações de falhas são fornecidas. A pergunta é: Dado que o sistema apresenta pelo menos um tipo de falha, qual a probabilidade de que ele tenha exatamente um tipo de falha?
Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de probabilidade como união e interseção de eventos, além da regra da probabilidade condicional.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a probabilidade de o sistema apresentar pelo menos um tipo de falha, ou seja, a probabilidade da união dos três eventos , e . Podemos usar a fórmula da inclusão-exclusão para três eventos:

Passo 3

Antes de aplicar a fórmula, precisamos calcular as probabilidades das interseções entre dois eventos. Sabemos que:
Rearranjando para encontrar :
Vamos calcular cada interseção:

Passo 4

Agora, aplicando a fórmula da inclusão-exclusão:
Portanto, a probabilidade de ter pelo menos uma falha é de 14%.

Passo 5

Em seguida, precisamos calcular a probabilidade de o sistema ter exatamente um tipo de falha. Isso significa que apenas , ou apenas , ou apenas ocorre, sem combinações com os outros eventos.
Vamos calcular cada caso:
  1. Apenas :
  1. Apenas :
  1. Apenas :

Passo 6

Somando as probabilidades de cada caso:
Então, a probabilidade de ter exatamente um tipo de falha é de 5%.

Passo 7

Finalmente, queremos a probabilidade condicional de ter exatamente um tipo de falha, dado que há pelo menos uma falha. A fórmula para probabilidade condicional é:

Resposta

A probabilidade de que o sistema tenha exatamente um tipo de falha, dado que ele apresenta pelo menos um tipo de falha, é aproximadamente 35,7%.

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