Um fabricante de máquinas de lavar sabe, por longa experiência, que a duração de suas máquinas tem distribuição normal com média de 1.000 dias e desvio-padrão de 200 dias. Oferece uma garantia de 1 ano ( 365 dias). Produz mensalmente 2.000 máquinas. Quantas espera trocar pelo uso da garantia dada, mensalmente?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um fabricante de máquinas de lavar que sabe, por experiência, que a duração das suas máquinas segue uma distribuição normal com média de 1.000 dias e desvio-padrão de 200 dias. Eles dão uma garantia de 1 ano, que são 365 dias, e produzem todo mês 2.000 máquinas. A pergunta é: quantas dessas máquinas, em média, a empresa espera trocar por causa da garantia todo mês?
Para resolver isso, vamos usar conceitos de Distribuição Normal e Probabilidade. Precisamos calcular a probabilidade de uma máquina falhar em até 365 dias e, depois, aplicar essa probabilidade ao total de máquinas produzidas mensalmente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a Distribuição Normal. Ela é uma representação gráfica em forma de sino que mostra como os valores de uma variável, como a duração das máquinas, se distribuem ao redor da média. No nosso caso, a média é de 1.000 dias, e o desvio-padrão é de 200 dias. O desvio-padrão nos diz o quanto os valores variam em relação à média.

Passo 3

Agora, queremos saber a probabilidade de uma máquina durar até 365 dias. Isso significa que precisamos encontrar a área sob a curva da distribuição normal à esquerda de 365. Para isso, vamos calcular o z-score, que nos ajuda a padronizar esse valor e usar tabelas de distribuição normal.
A fórmula do z-score é:
Onde:
  • é o valor que queremos analisar (365 dias),
  • é a média (1.000 dias),
  • é o desvio-padrão (200 dias).
Substituindo os valores:

Passo 4

Com o z-score de -3,175, precisamos encontrar a probabilidade correspondente na tabela da distribuição normal padrão. Essa probabilidade representa a chance de uma máquina falhar em até 365 dias.
Consultando a tabela ou usando uma calculadora de distribuição normal, encontramos que:
Isso significa que há aproximadamente 0,075% de chance de uma máquina falhar dentro do período de garantia.

Passo 5

Agora, vamos aplicar essa probabilidade ao número total de máquinas produzidas por mês para descobrir quantas seriam trocadas pela garantia.
Número de máquinas produzidas por mês: 2.000
Probabilidade de falha: 0,075%
Então, o número esperado de trocas é:
Como não podemos ter meio de uma máquina, arredondamos para 2 máquinas por mês.

Resposta

A empresa espera trocar, em média, 2 máquinas por mês devido à garantia oferecida.

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