Determinado sistema pode apresentar 3 tipos diferentes de falhas. Represente por Ai (i=1,2,3) o evento em que o sistema apresenta a falha do tipo i. Suponha que
  • P(A1)=0.12, P(A2)=0.07, P(A3)=0.05
  • P(A1 cup A2)=0.13, P(A1 cup A3)=0.14, P(A2 cup A3)=0.10
  • P(A1 cap A2 cap A3)=0.01
    Pergunta-se:

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que está sendo pedido aqui. Temos um sistema que pode sofrer três tipos diferentes de falhas, representadas pelos eventos , e . As probabilidades de cada falha individualmente e de duas falhas acontecendo juntas (uniões) são fornecidas, assim como a probabilidade de todas as três falhas ocorrerem ao mesmo tempo. Para resolver esse exercício, vamos usar conceitos de probabilidade de união e interseção de eventos, além do princípio da inclusão-exclusão.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a probabilidade da interseção dos eventos P(A1 cup A2) = P(A1) + P(A2) - P(A1 cap A2) e P(A1 cap A2) = P(A1) + P(A2) - P(A1 cup A2) , ou seja, . Para isso, usamos a fórmula da probabilidade da união de dois eventos:
Queremos resolver para , então reorganizamos a equação:

Passo 3

Agora, substituímos os valores fornecidos no enunciado:
P(A1 cap A2) = 0.12 + 0.07 - 0.13 = 0.06

Passo 4

Em seguida, vamos calcular a probabilidade da interseção dos eventos P(A1 cup A3) = P(A1) + P(A3) - P(A1 cap A3) e P(A1 cap A3) = P(A1) + P(A3) - P(A1 cup A3) , ou seja, . Usamos a mesma fórmula da união:
Isolando :

Passo 5

Substituindo os valores conhecidos:
P(A1 cap A3) = 0.12 + 0.05 - 0.14 = 0.03

Passo 6

Por último, vamos calcular a probabilidade da interseção dos eventos P(A2 cup A3) = P(A2) + P(A3) - P(A2 cap A3) e P(A2 cap A3) = P(A2) + P(A3) - P(A2 cup A3) , ou seja, . Mais uma vez, usamos a fórmula da união:
Isolando :

Passo 7

Substituindo os valores fornecidos:
P(A2 cap A3) = 0.07 + 0.05 - 0.10 = 0.02

Resposta

As probabilidades das interseções dos eventos são:

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