Determinar o ângulo entre os planos: Pi1: x+2y+z-10=0 Pi2: 2x+y-z+1=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver um problema de geometria envolvendo ângulos entre planos no espaço tridimensional. A gente tem dois planos definidos pelas equações:
Pi1: x + 2y + z - 10 = 0
Pi2: 2x + y - z + 1 = 0
Para encontrar o ângulo entre esses planos, a gente vai precisar trabalhar com vetores normais aos planos e usar um pouco de produto escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores normais de cada plano. O vetor normal de um plano é dado pelos coeficientes de x, y e z na equação do plano.
Para Pi1:
N1 = (1, 2, 1)
Para Pi2:
N2 = (2, 1, -1)

Passo 3

Agora, vamos calcular o produto escalar entre esses dois vetores. O produto escalar de N1 e N2 é dado por:
N1 cdot N2 = (1)(2) + (2)(1) + (1)(-1) = 2 + 2 - 1 = 3

Passo 4

Em seguida, precisamos calcular o módulo (ou norma) de cada vetor normal. A fórmula para o módulo de um vetor N = (a, b, c) é:
|N| = raiza^2 + b^2 + c^2
Então, para N1:
|N1| = raiz1^2 + 2^2 + 1^2 = raiz1 + 4 + 1 = raiz6
E para N2:
|N2| = raiz2^2 + 1^2 + (-1)^2 = raiz4 + 1 + 1 = raiz6

Passo 5

Agora que temos o produto escalar e os módulos dos vetores, podemos usar a fórmula do cosseno do ângulo entre os dois vetores:
cos(theta) = N1 cdot N2|N1| cdot |N2|
Substituindo os valores que encontramos:
cos(theta) = 3raiz6 cdot raiz6 = 36 = 0,5

Passo 6

Para encontrar o ângulo theta, vamos tirar o arco cosseno de 0,5:
theta = arccos(0,5) = 60^circ

Resposta

O ângulo entre os planos Pi1 e Pi2 é de 60 graus.

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