Prove por contradição que se qualquer número x é positivo, então x + 1 também é positivo

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado da questão pede para provar, usando o método da contradição, que se qualquer número $ x $ é positivo, então $ x + 1 $ também é positivo. Vamos precisar saber sobre números positivos e como funciona uma prova por contradição.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa um número ser positivo. Um número $ x $ é positivo se $ x > 0 $.

Passo 3

Agora, vamos entender o que é uma prova por contradição. Esse método começa assumindo que o que queremos provar é falso e, a partir daí, mostra que essa suposição leva a um absurdo, ou seja, a uma contradição.

Passo 4

Então, para provar que $ x + 1 $ é positivo quando $ x $ é positivo, vamos assumir o contrário: que $ x + 1 $ não é positivo. Isso significa que $ x + 1 \leq 0 $.

Passo 5

Sabemos que $ x $ é positivo, então $ x > 0 $. Se adicionarmos 1 a um número positivo, o resultado deve ser maior que 1, certo? Mas nossa suposição foi que $ x + 1 \leq 0 $. Vamos ver o que isso dá.

Passo 6

Se $ x > 0 $ e $ x + 1 \leq 0 $, então podemos escrever:
x > 0
Mas isso é uma contradição porque, se $ x > 0 $, ele não pode ser menor ou igual a -1 ao mesmo tempo.

Passo 7

Como nossa suposição de que $ x + 1 $ não é positivo leva a uma contradição, isso significa que nossa suposição estava errada. Portanto, $ x + 1 $ deve ser positivo.

Resposta

Assim, provamos por contradição que se $ x $ é positivo, então $ x + 1 $ também é positivo.

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