Prove por contradição que se qualquer número x é positivo, então x + 1 também é positivo
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado da questão pede para provar, usando o método da contradição, que se qualquer número $ x $ é positivo, então $ x + 1 $ também é positivo. Vamos precisar saber sobre números positivos e como funciona uma prova por contradição.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa um número ser positivo. Um número $ x $ é positivo se $ x > 0 $.
Passo 3
Agora, vamos entender o que é uma prova por contradição. Esse método começa assumindo que o que queremos provar é falso e, a partir daí, mostra que essa suposição leva a um absurdo, ou seja, a uma contradição.
Passo 4
Então, para provar que $ x + 1 $ é positivo quando $ x $ é positivo, vamos assumir o contrário: que $ x + 1 $ não é positivo. Isso significa que $ x + 1 \leq 0 $.
Passo 5
Sabemos que $ x $ é positivo, então $ x > 0 $. Se adicionarmos 1 a um número positivo, o resultado deve ser maior que 1, certo? Mas nossa suposição foi que $ x + 1 \leq 0 $. Vamos ver o que isso dá.
Passo 6
Se $ x > 0 $ e $ x + 1 \leq 0 $, então podemos escrever:
Mas isso é uma contradição porque, se $ x > 0 $, ele não pode ser menor ou igual a -1 ao mesmo tempo.
Passo 7
Como nossa suposição de que $ x + 1 $ não é positivo leva a uma contradição, isso significa que nossa suposição estava errada. Portanto, $ x + 1 $ deve ser positivo.
Resposta
Assim, provamos por contradição que se $ x $ é positivo, então $ x + 1 $ também é positivo.