Determinar o ângulo entre os vetores:
u=(2,-1,-1) C v=(-1,-1,2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o ângulo entre dois vetores, que são:
u = (2, -1, -1) e v = (-1, -1, 2)
Para isso, vamos usar um pouco de álgebra vetorial, especificamente a fórmula do produto escalar e a magnitude dos vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o produto escalar dos vetores u cdot v = u1 v1 + u2 v2 + u3 v3 e u cdot v = (2)(-1) + (-1)(-1) + (-1)(2) = -2 + 1 - 2 = -3 . O produto escalar é dado por:
Substituindo os valores:

Passo 3

Agora, vamos calcular a magnitude de cada vetor. A magnitude de um vetor |u| = raizu1^2 + u2^2 + u3^2 é:
|u| = raiz2^2 + (-1)^2 + (-1)^2 = raiz4 + 1 + 1 = raiz6
Calculando para |v| = raiz(-1)^2 + (-1)^2 + 2^2 = raiz1 + 1 + 4 = raiz6 :
E para :

Passo 4

Com o produto escalar e as magnitudes, podemos usar a fórmula para encontrar o cosseno do ângulo cos(theta) = u cdot v|u| |v| entre os vetores:
cos(theta) = -3raiz6 times raiz6 = -36 = -0.5
Substituindo os valores que já calculamos:

Passo 5

Agora, para encontrar o ângulo theta = arccos(-0.5) , tiramos o arco cosseno de :
Sabemos que .

Resposta

O ângulo entre os vetores e é de .

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