Determinar o ângulo entre os vetores u=(2,-1,-1) e v=(-1,-1,2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que está na área de Vetores, onde a gente precisa encontrar o ângulo entre dois vetores. Para isso, vamos usar a fórmula do produto escalar (também conhecido como produto interno) e as magnitudes dos vetores. Vamos precisar saber como calcular o produto escalar e a magnitude de um vetor.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o produto escalar dos vetores u e v. O produto escalar é feito multiplicando componente a componente e somando os resultados.
Então, temos:
u cdot v = (2) times (-1) + (-1) times (-1) + (-1) times 2
u cdot v = -2 + 1 - 2 = -3

Passo 3

Agora, vamos calcular as magnitudes (ou módulos) dos vetores u e v. A magnitude de um vetor é a raiz quadrada da soma dos quadrados de suas componentes.
Para u:
|u| = raiz2^2 + (-1)^2 + (-1)^2 = raiz4 + 1 + 1 = raiz6
Para v:
|v| = raiz(-1)^2 + (-1)^2 + 2^2 = raiz1 + 1 + 4 = raiz6

Passo 4

Com o produto escalar e as magnitudes em mãos, podemos usar a fórmula para encontrar o ângulo entre os vetores:
cos(theta) = u cdot v|u| cdot |v|
Substituindo os valores:
cos(theta) = -3raiz6 times raiz6 = -36 = -0.5
Agora, para encontrar o ângulo theta, tiramos o arco cosseno de -0.5:
theta = arccos(-0.5) = 120^circ

Resposta

O ângulo entre os vetores u=(2,-1,-1) e v=(-1,-1,2) é 120 graus.

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