Determinar o ângulo entre os vetores e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que está na área de Vetores, onde a gente precisa encontrar o ângulo entre dois vetores. Para isso, vamos usar a fórmula do produto escalar (também conhecido como produto interno) e as magnitudes dos vetores. Vamos precisar saber como calcular o produto escalar e a magnitude de um vetor.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o produto escalar dos vetores e . O produto escalar é feito multiplicando componente a componente e somando os resultados.
Então, temos:

Passo 3

Agora, vamos calcular as magnitudes (ou módulos) dos vetores e . A magnitude de um vetor é a raiz quadrada da soma dos quadrados de suas componentes.
Para :
Para :

Passo 4

Com o produto escalar e as magnitudes em mãos, podemos usar a fórmula para encontrar o ângulo entre os vetores:
Substituindo os valores:
Agora, para encontrar o ângulo , tiramos o arco cosseno de -0.5:

Resposta

O ângulo entre os vetores e é 120 graus.

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Verifique se os seguintes conjuntos são subespaços vetoriais: .