Considere o plano de equação
e a reta
de equação
.
Determine a reta que é a projeção ortogonal de
sobre
Determine a reta que é a projeção ortogonal de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a projeção ortogonal da reta
sobre o plano
. Isso envolve conhecimentos de geometria analítica, como equações de retas e planos, além de projeções vetoriais. Para resolver, vamos precisar entender como projetar uma reta sobre um plano de forma perpendicular.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação do plano:
. O vetor normal ao plano é
. Esse vetor é perpendicular a qualquer vetor que esteja no plano.
Passo 3
Agora, a reta
está dada por
. O vetor diretor da reta é
.
Passo 4
Para projetar a reta
sobre o plano, precisamos encontrar o vetor diretor da reta projetada, que chamaremos de
. A projeção de
no plano é dada por:
Vamos calcular o produto interno
:
E
:
Então,
Simplificando:
Passo 5
Agora, precisamos encontrar um ponto pertencente à reta projetada. Vamos projetar o ponto
do original sobre o plano. A fórmula da projeção de um ponto
sobre o plano
é:
Rearranjando a equação do plano para
, temos
,
,
,
. Calculando:
Então,
Simplificando:
Passo 6
Agora que temos o vetor diretor
e um ponto
pertencente à reta projetada, podemos escrever a equação paramétrica da reta projetada:
Resposta
A reta que é a projeção ortogonal de
sobre o plano
é dada por:
Exercícios relacionados
Verifique se os seguintes conjuntos são subespaços vetoriais:
.
Sejam
e
o conjunto dos vetores ortogonais a
. Prove que qualquer combinação linear de vetores de
pertence a
;
Verifique se os seguintes conjuntos são subespaços vetoriais: Sejam
e
.
Determinar o ângulo entre os vetores
e
.