Considere o plano de equação e a reta de equação .
Determine a reta que é a projeção ortogonal de sobre

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a projeção ortogonal da reta sobre o plano . Isso envolve conhecimentos de geometria analítica, como equações de retas e planos, além de projeções vetoriais. Para resolver, vamos precisar entender como projetar uma reta sobre um plano de forma perpendicular.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação do plano: . O vetor normal ao plano é . Esse vetor é perpendicular a qualquer vetor que esteja no plano.

Passo 3

Agora, a reta está dada por . O vetor diretor da reta é .

Passo 4

Para projetar a reta sobre o plano, precisamos encontrar o vetor diretor da reta projetada, que chamaremos de . A projeção de no plano é dada por:
Vamos calcular o produto interno :
E :
Então,
Simplificando:

Passo 5

Agora, precisamos encontrar um ponto pertencente à reta projetada. Vamos projetar o ponto do original sobre o plano. A fórmula da projeção de um ponto sobre o plano é:
Rearranjando a equação do plano para , temos , , , . Calculando:
Então,
Simplificando:

Passo 6

Agora que temos o vetor diretor e um ponto pertencente à reta projetada, podemos escrever a equação paramétrica da reta projetada:

Resposta

A reta que é a projeção ortogonal de sobre o plano é dada por:

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