Considere o plano de equação 2 x+y z=4 e a reta r de equação (x, y, z)= (0,3, 4)+t(1, 1,2).
Determine a reta que é a projeção ortogonal de r sobre

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a projeção ortogonal da reta sobre o plano . Isso envolve conhecimentos de geometria analítica, como equações de retas e planos, além de projeções vetoriais. Para resolver, vamos precisar entender como projetar uma reta sobre um plano de forma perpendicular.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação do plano: . O vetor normal ao plano é . Esse vetor é perpendicular a qualquer vetor que esteja no plano.

Passo 3

Agora, a reta está dada por . O vetor diretor da reta é .

Passo 4

Para projetar a reta d' = d - d cdot nn cdot n n sobre o plano, precisamos encontrar o vetor diretor da reta projetada, que chamaremos de d cdot n = (1)(2) + (1)(1) + (2)(-1) = 2 + 1 - 2 = 1 . A projeção de n cdot n = 2^2 + 1^2 + (-1)^2 = 4 + 1 + 1 = 6 no plano é dada por:
d' = (1, 1, 2) - 16(2, 1, -1) = (1 - 26, 1 - 16, 2 - (-16)) = (46, 56, 136)
Vamos calcular o produto interno d' = (23, 56, 136) :
E :
Então,
Simplificando:

Passo 5

Agora, precisamos encontrar um ponto pertencente à reta projetada. Vamos projetar o ponto P' = P - AxP + ByP + CzP + DA^2 + B^2 + C^2 n do original sobre o plano. A fórmula da projeção de um ponto AxP + ByP + CzP + D = 2(0) + 1(3) + (-1)(4) - 4 = 0 + 3 - 4 - 4 = -5 sobre o plano P' = (0, 3, 4) - -56(2, 1, -1) = (0, 3, 4) + 56(2, 1, -1) = (0 + 106, 3 + 56, 4 - 56) é:
P' = (53, 236, 196)
Rearranjando a equação do plano para , temos , , , . Calculando:
Então,
Simplificando:

Passo 6

Agora que temos o vetor diretor (x, y, z) = (53, 236, 196) + t(23, 56, 136) e um ponto pertencente à reta projetada, podemos escrever a equação paramétrica da reta projetada:

Resposta

A reta que é a projeção ortogonal de (x, y, z) = (53, 236, 196) + t(23, 56, 136) sobre o plano é dada por:

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