Verifique se os seguintes conjuntos são subespaços vetoriais: Sejam
e
.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos dois conjuntos de matrizes 2x2 com números reais. O primeiro conjunto,
, inclui todas as matrizes 2x2 possíveis com entradas reais. O segundo conjunto,
, é mais específico e inclui apenas matrizes onde as entradas nas posições (1,2) e (2,2) são zero. Nosso objetivo é verificar se
é um subespaço vetorial de
. Para isso, vamos precisar entender os conceitos de subespaço vetorial e verificar se
atende aos critérios necessários.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um subespaço vetorial de um espaço vetorial maior precisa satisfazer três condições:
- Conter o vetor zero: A matriz zero deve estar no conjunto.
- Fechado sob adição: Se pegarmos duas matrizes no conjunto, a soma delas também deve estar no conjunto.
- Fechado sob multiplicação por escalar: Se multiplicarmos uma matriz no conjunto por qualquer número real, o resultado também deve estar no conjunto.
Passo 3
Vamos verificar a primeira condição: se a matriz zero está em
. A matriz zero em
é:
Observando a definição de
, vemos que quando
e
, a matriz fica exatamente igual à matriz zero. Portanto, a matriz zero está em
.
Passo 4
Agora, vamos verificar se
é fechada sob adição. Seja
e
duas matrizes em
:
Vamos somar essas duas matrizes:
A soma resultante também tem zeros nas posições (1,2) e (2,2), o que significa que
está em
. Portanto,
é fechada sob adição.
Passo 5
Por último, vamos verificar se
é fechada sob multiplicação por escalar. Seja
uma matriz em
e
um número real. Então:
A matriz
também tem zeros nas posições (1,2) e (2,2), então
está em
. Assim,
é fechada sob multiplicação por escalar.
Resposta
Como
contém a matriz zero, é fechada sob adição e sob multiplicação por escalar, concluímos que
é um subespaço vetorial de
.
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e a reta
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.
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.
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e
.
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