Verifique se os seguintes conjuntos são subespaços vetoriais: Sejam e .

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos dois conjuntos de matrizes 2x2 com números reais. O primeiro conjunto, , inclui todas as matrizes 2x2 possíveis com entradas reais. O segundo conjunto, , é mais específico e inclui apenas matrizes onde as entradas nas posições (1,2) e (2,2) são zero. Nosso objetivo é verificar se é um subespaço vetorial de . Para isso, vamos precisar entender os conceitos de subespaço vetorial e verificar se atende aos critérios necessários.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um subespaço vetorial de um espaço vetorial maior precisa satisfazer três condições:
  1. Conter o vetor zero: A matriz zero deve estar no conjunto.
  2. Fechado sob adição: Se pegarmos duas matrizes no conjunto, a soma delas também deve estar no conjunto.
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Se multiplicarmos uma matriz no conjunto por qualquer número real, o resultado também deve estar no conjunto.

Passo 3

Vamos verificar a primeira condição: se a matriz zero está em . A matriz zero em é:
Observando a definição de , vemos que quando e , a matriz fica exatamente igual à matriz zero. Portanto, a matriz zero está em .

Passo 4

Agora, vamos verificar se é fechada sob adição. Seja e duas matrizes em :
Vamos somar essas duas matrizes:
A soma resultante também tem zeros nas posições (1,2) e (2,2), o que significa que está em . Portanto, é fechada sob adição.

Passo 5

Por último, vamos verificar se é fechada sob multiplicação por escalar. Seja uma matriz em e um número real. Então:
A matriz também tem zeros nas posições (1,2) e (2,2), então está em . Assim, é fechada sob multiplicação por escalar.

Resposta

Como contém a matriz zero, é fechada sob adição e sob multiplicação por escalar, concluímos que é um subespaço vetorial de .

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