Verifique se os seguintes conjuntos são subespaços vetoriais: Sejam vee=M2=[lla & b c & d] ; a, b, c, d in I R e S=[lla & 0 c & 0] ; a, c in I R.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos dois conjuntos de matrizes 2x2 com números reais. O primeiro conjunto, M2, inclui todas as matrizes 2x2 possíveis com entradas reais. O segundo conjunto, S, é mais específico e inclui apenas matrizes onde as entradas nas posições (1,2) e (2,2) são zero. Nosso objetivo é verificar se S é um subespaço vetorial de M2. Para isso, vamos precisar entender os conceitos de subespaço vetorial e verificar se S atende aos critérios necessários.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um subespaço vetorial de um espaço vetorial maior precisa satisfazer três condições:
  1. Conter o vetor zero: A matriz zero deve estar no conjunto.
  2. Fechado sob adição: Se pegarmos duas matrizes no conjunto, a soma delas também deve estar no conjunto.
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Se multiplicarmos uma matriz no conjunto por qualquer número real, o resultado também deve estar no conjunto.

Passo 3

Vamos verificar a primeira condição: se a matriz zero está em S. A matriz zero em M2 é:
0 = 0 & 0 0 & 0
Observando a definição de S, vemos que quando a = 0 e c = 0, a matriz fica exatamente igual à matriz zero. Portanto, a matriz zero está em S.

Passo 4

Agora, vamos verificar se S é fechada sob adição. Seja A e B duas matrizes em S:
A = a & 0 c & 0 , B = a' & 0 c' & 0
Vamos somar essas duas matrizes:
A + B = a + a' & 0 + 0 c + c' & 0 + 0 = a + a' & 0 c + c' & 0
A soma resultante também tem zeros nas posições (1,2) e (2,2), o que significa que A + B está em S. Portanto, S é fechada sob adição.

Passo 5

Por último, vamos verificar se S é fechada sob multiplicação por escalar. Seja A uma matriz em S e k um número real. Então:
A = a & 0 c & 0 e kA = ka & k cdot 0 kc & k cdot 0 = ka & 0 kc & 0
A matriz kA também tem zeros nas posições (1,2) e (2,2), então kA está em S. Assim, S é fechada sob multiplicação por escalar.

Resposta

Como S contém a matriz zero, é fechada sob adição e sob multiplicação por escalar, concluímos que S é um subespaço vetorial de M2.

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