Verifique se os seguintes conjuntos são subespaços vetoriais: .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para verificar se o conjunto é um subespaço vetorial. Vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente os critérios para um conjunto ser um subespaço vetorial. Precisaremos checar se satisfaz três condições básicas: conter o vetor zero, ser fechado sob adição e ser fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o vetor zero está em . O vetor zero em é . Substituindo na equação :
Isso confirma que está em .

Passo 3

Agora, vamos checar se é fechado sob adição. Ou seja, se pegarmos dois vetores qualquer em , a soma deles também deve estar em . Seja e pertencentes a . Então:
Somando esses dois, temos:
Portanto, também satisfaz a equação e está em .

Passo 4

Por último, vamos ver se é fechado sob multiplicação por escalar. Isso significa que, se a gente multiplicar qualquer vetor em por um número real , o resultado também deve estar em . Seja , então:
Multiplicando por :
Assim, também satisfaz a equação e está em .

Resposta

Como o conjunto contém o vetor zero, é fechado sob adição e sob multiplicação por escalar, podemos concluir que é um subespaço vetorial de .

Exercícios relacionados

Classifique os seguintes subconjuntos do L.I ou L.D.:
Determinar o ângulo entre os vetores e .
São dadas as coordenadas de e em relação a uma base ortonormal fixada. Calcule, em radianos, a medida angular entre e . .
Verifique se os seguintes conjuntos são subespaços vetoriais: e .