Verifique se os seguintes conjuntos são subespaços vetoriais: S=(x, y) in R^2 mid x+3 y=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para verificar se o conjunto é um subespaço vetorial. Vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente os critérios para um conjunto ser um subespaço vetorial. Precisaremos checar se satisfaz três condições básicas: conter o vetor zero, ser fechado sob adição e ser fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o vetor zero está em 0 + 3 times 0 = 0 . O vetor zero em é . Substituindo na equação :
Isso confirma que está em .

Passo 3

Agora, vamos checar se x1 + 3y1 = 0 e x2 + 3y2 = 0 é fechado sob adição. Ou seja, se pegarmos dois vetores qualquer em (x1 + x2) + 3(y1 + y2) = 0 + 0 = 0 , a soma deles também deve estar em . Seja e pertencentes a . Então:
Somando esses dois, temos:
Portanto, também satisfaz a equação e está em .

Passo 4

Por último, vamos ver se x + 3y = 0 é fechado sob multiplicação por escalar. Isso significa que, se a gente multiplicar qualquer vetor em k x + 3k y = k(x + 3y) = k times 0 = 0 por um número real , o resultado também deve estar em . Seja , então:
Multiplicando por :
Assim, também satisfaz a equação e está em .

Resposta

Como o conjunto contém o vetor zero, é fechado sob adição e sob multiplicação por escalar, podemos concluir que é um subespaço vetorial de .

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