Verifique se os seguintes conjuntos são subespaços vetoriais:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para verificar se o conjunto
é um subespaço vetorial. Vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente os critérios para um conjunto ser um subespaço vetorial. Precisaremos checar se
satisfaz três condições básicas: conter o vetor zero, ser fechado sob adição e ser fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se o vetor zero está em
. O vetor zero em
é
. Substituindo na equação
:
Isso confirma que
está em
.
Passo 3
Agora, vamos checar se
é fechado sob adição. Ou seja, se pegarmos dois vetores qualquer em
, a soma deles também deve estar em
. Seja
e
pertencentes a
. Então:
Somando esses dois, temos:
Portanto,
também satisfaz a equação
e está em
.
Passo 4
Por último, vamos ver se
é fechado sob multiplicação por escalar. Isso significa que, se a gente multiplicar qualquer vetor em
por um número real
, o resultado também deve estar em
. Seja
, então:
Multiplicando por
:
Assim,
também satisfaz a equação
e está em
.
Resposta
Como o conjunto
contém o vetor zero, é fechado sob adição e sob multiplicação por escalar, podemos concluir que
é um subespaço vetorial de
.
Exercícios relacionados
Classifique os seguintes subconjuntos do
L.I ou L.D.:
Determinar o ângulo entre os vetores
e
.
São dadas as coordenadas de
e
em relação a uma base ortonormal fixada. Calcule, em radianos, a medida angular entre
e
.
.
Verifique se os seguintes conjuntos são subespaços vetoriais:
e
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