Determinar os ângulos internos de um triângulo , sendo , e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um triângulo com os vértices nas coordenadas , e . Nosso objetivo aqui é descobrir os ângulos internos desse triângulo. Para isso, vamos usar um pouco de geometria analítica e trigonometria. Primeiro, precisamos calcular as distâncias entre os pontos para encontrar os lados do triângulo, usando a fórmula da distância no espaço tridimensional. Depois, vamos aplicar a Lei dos Cossenos para encontrar os ângulos.
Passo 2
Vamos começar calculando as distâncias entre os pontos , e . A fórmula da distância entre dois pontos no espaço é:
Calculando o lado (lado BC):
Calculando o lado (lado AC):
Calculando o lado (lado AB):
Então, os lados do triângulo são aproximadamente:
Passo 3
Agora que temos os comprimentos dos lados, vamos encontrar os ângulos internos usando a Lei dos Cossenos. Essa lei relaciona os lados de um triângulo com o cosseno de um de seus ângulos. A fórmula é:
Vamos encontrar o ângulo :
Calculando os quadrados:
Substituindo:
Agora, tiramos o arco cosseno para achar o ângulo:
Passo 4
Vamos repetir o processo para encontrar o ângulo usando a Lei dos Cossenos:
Calculando os quadrados:
Substituindo:
Tirando o arco cosseno:
Passo 5
Por fim, vamos encontrar o ângulo . Sabemos que a soma dos ângulos internos de um triângulo é . Então:
Resposta
Os ângulos internos do triângulo são aproximadamente: