Determinar os ângulos internos de um triângulo A B C, sendo A=(3,-3,3), B=(2,-1,2) e C(1,0,2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um triângulo ABC com os vértices nas coordenadas A=(3,-3,3), B=(2,-1,2) e C=(1,0,2). Nosso objetivo aqui é descobrir os ângulos internos desse triângulo. Para isso, vamos usar um pouco de geometria analítica e trigonometria. Primeiro, precisamos calcular as distâncias entre os pontos para encontrar os lados do triângulo, usando a fórmula da distância no espaço tridimensional. Depois, vamos aplicar a Lei dos Cossenos para encontrar os ângulos.

Passo 2

Vamos começar calculando as distâncias entre os pontos A, B e C. A fórmula da distância entre dois pontos no espaço é:
d = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2
Calculando o lado a (lado BC):
a = raiz(1-2)^2 + (0-(-1))^2 + (2-2)^2 = raiz(-1)^2 + 1^2 + 0^2 = raiz1 + 1 + 0 = raiz2 approx 1,414
Calculando o lado b (lado AC):
b = raiz(1-3)^2 + (0-(-3))^2 + (2-3)^2 = raiz(-2)^2 + 3^2 + (-1)^2 = raiz4 + 9 + 1 = raiz14 approx 3,741
Calculando o lado c (lado AB):
c = raiz(2-3)^2 + (-1-(-3))^2 + (2-3)^2 = raiz(-1)^2 + 2^2 + (-1)^2 = raiz1 + 4 + 1 = raiz6 approx 2,449
Então, os lados do triângulo são aproximadamente:
  • a approx 1,414
  • b approx 3,741
  • c approx 2,449

Passo 3

Agora que temos os comprimentos dos lados, vamos encontrar os ângulos internos usando a Lei dos Cossenos. Essa lei relaciona os lados de um triângulo com o cosseno de um de seus ângulos. A fórmula é:
cos(theta) = b^2 + c^2 - a^22bc
Vamos encontrar o ângulo A:
cos(A) = b^2 + c^2 - a^22bc = (3,741)^2 + (2,449)^2 - (1,414)^22 times 3,741 times 2,449
Calculando os quadrados:
b^2 = 14, c^2 = 6, a^2 = 2
Substituindo:
cos(A) = 14 + 6 - 22 times 3,741 times 2,449 = 1818,31 approx 0,983
Agora, tiramos o arco cosseno para achar o ângulo:
A approx arccos(0,983) approx 10^circ

Passo 4

Vamos repetir o processo para encontrar o ângulo B usando a Lei dos Cossenos:
cos(B) = a^2 + c^2 - b^22ac = (1,414)^2 + (2,449)^2 - (3,741)^22 times 1,414 times 2,449
Calculando os quadrados:
a^2 = 2, c^2 = 6, b^2 = 14
Substituindo:
cos(B) = 2 + 6 - 142 times 1,414 times 2,449 = -66,928 approx -0,866
Tirando o arco cosseno:
B approx arccos(-0,866) approx 150^circ

Passo 5

Por fim, vamos encontrar o ângulo C. Sabemos que a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180^circ. Então:
C = 180^circ - A - B = 180^circ - 10^circ - 150^circ = 20^circ

Resposta

Os ângulos internos do triângulo ABC são aproximadamente:
  • ang<= A approx 10^circ
  • ang<= B approx 150^circ
  • ang<= C approx 20^circ

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