Encontre a matriz da transformação linear em relação ás bases canônicas dos espaços envolvidos.
T: R^3 R^3, T(x, y, z)=(2 x+y, 3 z-x, 2 y-x).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que envolve transformação linear entre espaços vetoriais. Especificamente, a transformação está definida por . Nosso objetivo é encontrar a matriz dessa transformação em relação às bases canônicas dos espaços envolvidos. Para isso, vamos precisar entender como as transformações lineares funcionam e como representá-las em forma de matrizes usando as bases padrão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear pode ser representada por uma matriz onde cada coluna dessa matriz é a imagem de um dos vetores da base canônica do espaço de partida. No caso, nossa base canônica de é formada pelos vetores , e .

Passo 3

Vamos calcular a imagem de cada um desses vetores pela transformação T(1, 0, 0) = (2 cdot 1 + 0, , 3 cdot 0 - 1, , 2 cdot 0 - 1) = (2, , -1, , -1) .
Primeiro, calculamos :

Passo 4

Agora, calculamos T(0, 1, 0) = (2 cdot 0 + 1, , 3 cdot 0 - 0, , 2 cdot 1 - 0) = (1, , 0, , 2) :

Passo 5

Por último, calculamos T(0, 0, 1) = (2 cdot 0 + 0, , 3 cdot 1 - 0, , 2 cdot 0 - 0) = (0, , 3, , 0) :

Passo 6

Agora que temos as imagens dos vetores da base canônica, podemos montar a matriz da transformação A = 2 & 1 & 0 -1 & 0 & 3 -1 & 2 & 0 . Cada coluna dessa matriz será uma dessas imagens calculadas:

Resposta

A matriz da transformação linear 2 & 1 & 0 -1 & 0 & 3 -1 & 2 & 0 em relação às bases canônicas é:

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T: R^2 R^3, T(x, y)=(-x, y)
Seja T: R^2 R^3 dada por T(x, y)=(2 x+y, y-x, 3 x) e considere as bases B=(1,2),(2,-1) e B^prime=(1,1,1),(0,1,1),(0,0,1). Encontre a matriz que representa T em relação às bases B e B^prime. Sendo [u]B=(3,-1), use a matriz para encontrar [T(u)]B^prime, e use isso para dizer quem é T(u).
Seja A e B matrizes, no qual, A=(ll1 & 1 0 & 0) e B=(cc1 & 0 -1 & 0). Mostre que o produto será a matriz nula (A cdot B=0).
Determinar os ângulos internos de um triângulo A B C, sendo A=(3,-3,3), B=(2,-1,2) e C(1,0,2).