Encontre a matriz da transformação linear em relação ás bases canônicas dos espaços envolvidos. .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que envolve transformação linear entre espaços vetoriais. Especificamente, a transformação está definida por . Nosso objetivo é encontrar a matriz dessa transformação em relação às bases canônicas dos espaços envolvidos. Para isso, vamos precisar entender como as transformações lineares funcionam e como representá-las em forma de matrizes usando as bases padrão.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear pode ser representada por uma matriz onde cada coluna dessa matriz é a imagem de um dos vetores da base canônica do espaço de partida. No caso, nossa base canônica de é formada pelos vetores , e .
Passo 3
Vamos calcular a imagem de cada um desses vetores pela transformação .
Primeiro, calculamos :
Passo 4
Agora, calculamos :
Passo 5
Por último, calculamos :
Passo 6
Agora que temos as imagens dos vetores da base canônica, podemos montar a matriz da transformação . Cada coluna dessa matriz será uma dessas imagens calculadas:
Resposta
A matriz da transformação linear 2 & 1 & 0 -1 & 0 & 3 -1 & 2 & 0 em relação às bases canônicas é: