Encontre a matriz da transformação linear em relação ás bases canônicas dos espaços envolvidos.
T: P2(x) P3(x), T(p(x))=x p(x).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem aqui um exercício de Transformação Linear. Basicamente, uma transformação linear é uma função que respeita certas regras de álgebra linear. Nosso objetivo é encontrar a matriz que representa essa transformação em relação às bases canônicas dos espaços envolvidos.
No caso, a transformação é definida por . Isso significa que, para qualquer polinômio de grau até 2, a transformação multiplica esse polinômio por , resultando num polinômio de grau até 3. Vamos precisar das bases canônicas desses espaços para montar a matriz.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as bases canônicas dos espaços e .
  • Para (polinômios de grau até 2), a base canônica é: .
  • Para (polinômios de grau até 3), a base canônica é: .
Essas bases são importantes porque toda transformação linear pode ser representada por uma matriz cujas colunas são as imagens dos vetores da base do espaço de partida expressas na base do espaço de chegada.

Passo 3

Vamos aplicar a transformação a cada elemento da base de :
Agora, precisamos expressar cada uma dessas imagens em termos da base canônica de .

Passo 4

Expressando cada imagem na base :
Esses vetores coluna serão as colunas da matriz da transformação.

Passo 5

Agora, montamos a matriz [T] = 0 & 0 & 0 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 juntando esses vetores coluna:
Cada coluna corresponde à imagem de um elemento da base de partida expressa na base de chegada.

Resposta

A matriz da transformação linear [T] = 0 & 0 & 0 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 em relação às bases canônicas é:

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