Determinar as assíntotas verticais e horizontais dos gráficos das seguintes funções.
a) f(x) = (4 x^2 - 20 x + 25) / (x^2 - 5 x + 6)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para encontrar as assíntotas verticais e horizontais do gráfico da função . Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre assíntotas e como encontrá-las em funções racionais (que são frações onde o numerador e o denominador são polinômios).

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as assíntotas verticais. Elas ocorrem nos valores de que fazem o denominador ser zero, mas que não cancelam com o numerador. Então, vamos resolver a equação do denominador igual a zero:
Vamos fatorar esse polinômio:
Portanto, as soluções são e . Agora, precisamos verificar se esses valores também zeram o numerador. Substituindo no numerador:
  • Para :
  • Para :
Como o numerador não é zero nesses pontos, temos assíntotas verticais em e .

Passo 3

Agora, vamos encontrar a assíntota horizontal. Para funções racionais, comparamos os graus dos polinômios do numerador e do denominador:
  • Grau do numerador: 2
  • Grau do denominador: 2
Quando os graus são iguais, a assíntota horizontal é a razão entre os coeficientes principais. O coeficiente principal do numerador é 4 e do denominador é 1. Então:
Portanto, a assíntota horizontal é .

Resposta

As assíntotas verticais da função são e e a assíntota horizontal é .

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