Determinar as assíntotas verticais e horizontais dos gráficos das seguintes funções.
a)
a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para encontrar as assíntotas verticais e horizontais do gráfico da função
. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre assíntotas e como encontrá-las em funções racionais (que são frações onde o numerador e o denominador são polinômios).
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as assíntotas verticais. Elas ocorrem nos valores de
que fazem o denominador ser zero, mas que não cancelam com o numerador. Então, vamos resolver a equação do denominador igual a zero:
Vamos fatorar esse polinômio:
Portanto, as soluções são
e
. Agora, precisamos verificar se esses valores também zeram o numerador. Substituindo no numerador:
- Para
: - Para
:
Como o numerador não é zero nesses pontos, temos assíntotas verticais em
e
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a assíntota horizontal. Para funções racionais, comparamos os graus dos polinômios do numerador e do denominador:
- Grau do numerador: 2
- Grau do denominador: 2
Quando os graus são iguais, a assíntota horizontal é a razão entre os coeficientes principais. O coeficiente principal do numerador é 4 e do denominador é 1. Então:
Portanto, a assíntota horizontal é
.
Resposta
As assíntotas verticais da função são
e
e a assíntota horizontal é
.
Exercícios relacionados
Calcular os limites, se existir.
h)
h)
Calcular os limites indicados no quadro abaixo, se existir, para as funções. Esboçar os gráficos.
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Calcular os limites utilizando os limites fundamentais.
a)
a)
Resolva.
a) Se , mostrar que
.
a) Se