Determinar, através da definição de continuidade, todos os valores de
, para os quais a função abaixo não é contínua.
a)
a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente achar todos os valores de
onde a função
não é contínua. A matéria envolvida aqui é a definição de continuidade de funções, e para resolver isso vamos precisar entender onde a função
não é contínua.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é continuidade. Uma função é contínua em um ponto
se os três seguintes critérios forem satisfeitos:
- A função está definida em
(ou seja, existe). - O limite de
quando se aproxima de existe. - O limite de
quando se aproxima de é igual a .
Se alguma dessas condições não for atendida, a função não é contínua em
.
Passo 3
Agora, vamos analisar a função
. Sabemos que a tangente de
pode ser escrita como
.
Para que
esteja definida, o denominador
não pode ser zero, porque divisão por zero é indefinida. Então, precisamos encontrar os valores de
onde
, pois nesses pontos
não está definida, e portanto não é contínua.
Passo 4
Vamos encontrar os valores de
onde
.
Sabemos que
quando
, onde
é um número inteiro.
Ou seja, para
, os valores onde
não é contínua são:
Passo 5
Portanto, concluímos que a função
não é contínua nos pontos onde
, para qualquer número inteiro
.
Resposta
A função
não é contínua para todos os valores de
que satisfazem:
Exercícios relacionados
Considere a função dada por
. Determine os pontos críticos de
e classifique-os como pontos de máximo, mínimo ou sela.
Seja
, onde
e
. Determine as derivadas parciais
e
.
Determinar, através da definição de continuidade, todos os valores de
, para os quais a função abaixo não é contínua.
b)
b)
Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo: