Determinar uma base e a dimensão dos seguintes subespaços do :
a. Todos os vetores da forma ( em que .
b. Todos os vetores da forma ( em que e
c. Todos os vetores da forma em que e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de Álgebra Linear! A gente precisa encontrar uma base e a dimensão de alguns subespaços do . Para isso, vamos identificar quais vetores formam uma base para cada subespaço e contar quantos vetores tem nessa base, que dá a dimensão.
Parte a
Enunciado: Determinar uma base e a dimensão dos vetores da forma em que .
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa . Isso nos dá uma relação entre as coordenadas , e . Com essa relação, podemos expressar em termos de e , ou seja, .
Passo 3
Agora, vamos escrever o vetor usando essa relação:
Isso mostra que o vetor é determinado pelos valores de , e . Portanto, podemos considerar , e como variáveis livres.
Passo 4
Vamos reescrever o vetor destacando as variáveis livres:
Aqui, cada coeficiente , , e multiplica um vetor específico, formando uma combinação linear.
Passo 5
Os vetores que multiplicamos pelas variáveis livres são:
Esses vetores vão formar a base do subespaço, porque eles são lineares independentes e qualquer vetor do subespaço pode ser escrito como combinação linear deles.
Passo 6
Para confirmar que esses vetores são linearmente independentes, observamos que nenhum deles pode ser escrito como combinação dos outros. Além disso, como temos três vetores, a dimensão do subespaço será 3.
Passo 7
Aqui temos duas relações: e . Vamos usar essas relações para expressar e em termos de e . Assim, as únicas variáveis livres serão e .
Passo 8
Vamos reescrever o vetor usando essas relações:
Isso mostra que o vetor é determinado apenas por e .
Passo 9
Agora, expressamos o vetor como uma combinação linear das variáveis livres:
Aqui, e são as variáveis que multiplicam os vetores base.
Passo 10
Os vetores que formam a base são:
Como temos dois vetores, a dimensão do subespaço será 2.
Passo 11
Temos duas equações: e . Vamos resolver essas equações para expressar e em termos de e . Assim, as variáveis livres serão e .
Passo 12
Resolvendo as equações:
Agora, substituímos esses valores no vetor:
Passo 13
Vamos expressar o vetor como uma combinação linear das variáveis livres e :
Aqui, e são as variáveis que multiplicam os vetores base.
Passo 14
Os vetores que formam a base são:
Como temos dois vetores, a dimensão do subespaço será 2.