Determinar uma base e a dimensão dos seguintes subespaços do R^4 :
a. Todos os vetores da forma ( x, y, z, t) em que t=x+y.
b. Todos os vetores da forma ( x, y, z, t) em que z=x-y e t=x+y
c. Todos os vetores da forma (x, y, z, t) em que x-2 y=0 e z-3 t=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Álgebra Linear! A gente precisa encontrar uma base e a dimensão de alguns subespaços do R^4. Para isso, vamos identificar quais vetores formam uma base para cada subespaço e contar quantos vetores tem nessa base, que dá a dimensão.

Parte a

Enunciado: Determinar uma base e a dimensão dos vetores da forma (x, y, z, t) em que t = x + y.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa t = x + y. Isso nos dá uma relação entre as coordenadas t, x e y. Com essa relação, podemos expressar t em termos de x e y, ou seja, t = x + y.

Passo 3

Agora, vamos escrever o vetor (x, y, z, t) usando essa relação:
(x, y, z, t) = (x, y, z, x + y)
Isso mostra que o vetor é determinado pelos valores de x, y e z. Portanto, podemos considerar x, y e z como variáveis livres.

Passo 4

Vamos reescrever o vetor destacando as variáveis livres:
(x, y, z, x + y) = x cdot (1, 0, 0, 1) + y cdot (0, 1, 0, 1) + z cdot (0, 0, 1, 0)
Aqui, cada coeficiente x, y, e z multiplica um vetor específico, formando uma combinação linear.

Passo 5

Os vetores que multiplicamos pelas variáveis livres são:
(1, 0, 0, 1), (0, 1, 0, 1), (0, 0, 1, 0)
Esses vetores vão formar a base do subespaço, porque eles são lineares independentes e qualquer vetor do subespaço pode ser escrito como combinação linear deles.

Passo 6

Para confirmar que esses vetores são linearmente independentes, observamos que nenhum deles pode ser escrito como combinação dos outros. Além disso, como temos três vetores, a dimensão do subespaço será 3.

Passo 7

Aqui temos duas relações: z = x - y e t = x + y. Vamos usar essas relações para expressar z e t em termos de x e y. Assim, as únicas variáveis livres serão x e y.

Passo 8

Vamos reescrever o vetor usando essas relações:
(x, y, z, t) = (x, y, x - y, x + y)
Isso mostra que o vetor é determinado apenas por x e y.

Passo 9

Agora, expressamos o vetor como uma combinação linear das variáveis livres:
(x, y, x - y, x + y) = x cdot (1, 0, 1, 1) + y cdot (0, 1, -1, 1)
Aqui, x e y são as variáveis que multiplicam os vetores base.

Passo 10

Os vetores que formam a base são:
(1, 0, 1, 1) e (0, 1, -1, 1)
Como temos dois vetores, a dimensão do subespaço será 2.

Passo 11

Temos duas equações: x - 2y = 0 e z - 3t = 0. Vamos resolver essas equações para expressar x e z em termos de y e t. Assim, as variáveis livres serão y e t.

Passo 12

Resolvendo as equações:
x = 2y z = 3t
Agora, substituímos esses valores no vetor:
(x, y, z, t) = (2y, y, 3t, t)

Passo 13

Vamos expressar o vetor como uma combinação linear das variáveis livres y e t:
(2y, y, 3t, t) = y cdot (2, 1, 0, 0) + t cdot (0, 0, 3, 1)
Aqui, y e t são as variáveis que multiplicam os vetores base.

Passo 14

Os vetores que formam a base são:
(2, 1, 0, 0) e (0, 0, 3, 1)
Como temos dois vetores, a dimensão do subespaço será 2.

Resposta

Parte c:
Base: , (2,,1,,0,,0),; (0,,0,,3,,1) ,
Dimensão: 2

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