Determinar uma base e a dimensão dos seguintes subespaços do :
a. Todos os vetores da forma ( em que .
b. Todos os vetores da forma ( em que e
c. Todos os vetores da forma em que e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Álgebra Linear! A gente precisa encontrar uma base e a dimensão de alguns subespaços do . Para isso, vamos identificar quais vetores formam uma base para cada subespaço e contar quantos vetores tem nessa base, que dá a dimensão.

Parte a

Enunciado: Determinar uma base e a dimensão dos vetores da forma em que .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Isso nos dá uma relação entre as coordenadas , e . Com essa relação, podemos expressar em termos de e , ou seja, .

Passo 3

Agora, vamos escrever o vetor usando essa relação:
Isso mostra que o vetor é determinado pelos valores de , e . Portanto, podemos considerar , e como variáveis livres.

Passo 4

Vamos reescrever o vetor destacando as variáveis livres:
Aqui, cada coeficiente , , e multiplica um vetor específico, formando uma combinação linear.

Passo 5

Os vetores que multiplicamos pelas variáveis livres são:
Esses vetores vão formar a base do subespaço, porque eles são lineares independentes e qualquer vetor do subespaço pode ser escrito como combinação linear deles.

Passo 6

Para confirmar que esses vetores são linearmente independentes, observamos que nenhum deles pode ser escrito como combinação dos outros. Além disso, como temos três vetores, a dimensão do subespaço será 3.

Passo 7

Aqui temos duas relações: e . Vamos usar essas relações para expressar e em termos de e . Assim, as únicas variáveis livres serão e .

Passo 8

Vamos reescrever o vetor usando essas relações:
Isso mostra que o vetor é determinado apenas por e .

Passo 9

Agora, expressamos o vetor como uma combinação linear das variáveis livres:
Aqui, e são as variáveis que multiplicam os vetores base.

Passo 10

Os vetores que formam a base são:
Como temos dois vetores, a dimensão do subespaço será 2.

Passo 11

Temos duas equações: e . Vamos resolver essas equações para expressar e em termos de e . Assim, as variáveis livres serão e .

Passo 12

Resolvendo as equações:
Agora, substituímos esses valores no vetor:

Passo 13

Vamos expressar o vetor como uma combinação linear das variáveis livres e :
Aqui, e são as variáveis que multiplicam os vetores base.

Passo 14

Os vetores que formam a base são:
Como temos dois vetores, a dimensão do subespaço será 2.

Resposta

Parte c:
Base:
Dimensão: 2

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a.
b.