Determinar uma base e a dimensão dos seguintes subespaços do
:
a. Todos os vetores da forma (
em que
.
b. Todos os vetores da forma (
em que
e
c. Todos os vetores da forma
em que
e
.
a. Todos os vetores da forma (
b. Todos os vetores da forma (
c. Todos os vetores da forma
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de Álgebra Linear! A gente precisa encontrar uma base e a dimensão de alguns subespaços do
. Para isso, vamos identificar quais vetores formam uma base para cada subespaço e contar quantos vetores tem nessa base, que dá a dimensão.
Parte a
Enunciado: Determinar uma base e a dimensão dos vetores da forma
em que
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Isso nos dá uma relação entre as coordenadas
,
e
. Com essa relação, podemos expressar
em termos de
e
, ou seja,
.
Passo 3
Agora, vamos escrever o vetor
usando essa relação:
Isso mostra que o vetor é determinado pelos valores de
,
e
. Portanto, podemos considerar
,
e
como variáveis livres.
Passo 4
Vamos reescrever o vetor destacando as variáveis livres:
Aqui, cada coeficiente
,
, e
multiplica um vetor específico, formando uma combinação linear.
Passo 5
Os vetores que multiplicamos pelas variáveis livres são:
Esses vetores vão formar a base do subespaço, porque eles são lineares independentes e qualquer vetor do subespaço pode ser escrito como combinação linear deles.
Passo 6
Para confirmar que esses vetores são linearmente independentes, observamos que nenhum deles pode ser escrito como combinação dos outros. Além disso, como temos três vetores, a dimensão do subespaço será 3.
Passo 7
Aqui temos duas relações:
e
. Vamos usar essas relações para expressar
e
em termos de
e
. Assim, as únicas variáveis livres serão
e
.
Passo 8
Vamos reescrever o vetor usando essas relações:
Isso mostra que o vetor é determinado apenas por
e
.
Passo 9
Agora, expressamos o vetor como uma combinação linear das variáveis livres:
Aqui,
e
são as variáveis que multiplicam os vetores base.
Passo 10
Os vetores que formam a base são:
Como temos dois vetores, a dimensão do subespaço será 2.
Passo 11
Temos duas equações:
e
. Vamos resolver essas equações para expressar
e
em termos de
e
. Assim, as variáveis livres serão
e
.
Passo 12
Resolvendo as equações:
Agora, substituímos esses valores no vetor:
Passo 13
Vamos expressar o vetor como uma combinação linear das variáveis livres
e
:
Aqui,
e
são as variáveis que multiplicam os vetores base.
Passo 14
Os vetores que formam a base são:
Como temos dois vetores, a dimensão do subespaço será 2.
Resposta
Parte c:
Base:
Dimensão: 2
Base:
Dimensão: 2