Sejam
e
bases de
Obter: As matrizes de mudança de base:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de Mudança de Base! Aqui, a matéria que vamos usar é Álgebra Linear, mais especificamente a parte que trata de como mudar a representação de um vetor quando mudamos a base. Precisamos encontrar a matriz de mudança de base de
para
. Ou seja, queremos saber como representar os vetores da base
na base padrão
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz de mudança de base. Ela transforma as coordenadas de um vetor em uma base para as coordenadas na outra base. Nesse caso, queremos transformar coordenadas de
para
.
Passo 3
Vamos identificar os vetores das bases:
- Base
(base padrão): - Base
:
Passo 4
Para encontrar a matriz de mudança de base, colocamos os vetores da base
escritos na base
como colunas da matriz. Como
é a base padrão, os vetores já estão expressos nela.
Passo 5
Assim, organizamos os vetores de
como colunas:
Resposta
A matriz de mudança de base
é:
Exercícios relacionados
Ache os autovalores e autovetores correspondentes das matrizes:
Verificar se os seguintes conjuntos são bases do
. Em caso negativo, obter o subespaço gerado pelo conjunto, uma base e a dimensão deste conjunto:
Determinar uma base e a dimensão dos seguintes subespaços do
:
a. Todos os vetores da forma ( em que
.
b. Todos os vetores da forma ( em que
e
c. Todos os vetores da forma em que
e
.
a. Todos os vetores da forma (
b. Todos os vetores da forma (
c. Todos os vetores da forma
Dizemos que uma matriz
é nilpotente se existir um inteiro
, tal que
. Mostre que, se
é nilpotente,
não é inversível. Use esse fato para mostrar que a matriz abaixo não é inversível