Dizemos que uma matriz é nilpotente se existir um inteiro , tal que . Mostre que, se é nilpotente, não é inversível. Use esse fato para mostrar que a matriz abaixo não é inversível

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre matrizes nilpotentes, que são aquelas onde, se elevadas a certa potência , resultam na matriz zero. A gente precisa provar que se uma matriz é nilpotente, então ela não tem inversa. Depois, vamos usar esse fato para mostrar que a matriz dada não é inversível. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma matriz ser nilpotente e o que torna uma matriz inversível.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma matriz inversível. Uma matriz é inversível se existe outra matriz tal que , onde é a matriz identidade. Se uma matriz não tiver inversa, dizemos que ela é singular.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre matrizes nilpotentes. Uma matriz é nilpotente se existe um número inteiro positivo tal que , onde é a matriz zero. Por exemplo, se , então é nilpotente com .

Passo 4

Vamos provar que se é nilpotente, então ela não é inversível. Suponha que seja inversível. Então existe tal que . Mas, se , multiplicando ambos os lados por daria . Continuando esse processo, acabamos chegando em , o que contraria a existência de porque a matriz zero não é inversível. Portanto, se é nilpotente, ela não pode ser inversível.

Passo 5

Com essa prova em mente, vamos analisar a matriz dada:
Observamos que todos os elementos da diagonal principal são zero. Isso é um indicativo forte de que a matriz pode ser nilpotente. Vamos verificar isso calculando algumas potências de .

Passo 6

Calculando :
Ainda não é a matriz zero. Agora, calculando :
Ainda não chegamos na matriz zero. Vamos para :
Prontinho! . Isso confirma que é uma matriz nilpotente com .

Resposta

Como a matriz é nilpotente, ela não é inversível.

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Determinar uma base e a dimensão dos seguintes subespaços do :
a. Todos os vetores da forma ( em que .
b. Todos os vetores da forma ( em que e
c. Todos os vetores da forma em que e .
Sejam e bases de Obter: As matrizes de mudança de base:
Determinar uma base e a dimensão do conjunto formado pelas soluções dos seguintes sistemas homogêneos:
a.
b.
Encontre o valor de tal que:
a)
b)