Dizemos que uma matriz é nilpotente se existir um inteiro , tal que . Mostre que, se é nilpotente, não é inversível. Use esse fato para mostrar que a matriz abaixo não é inversível
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre matrizes nilpotentes, que são aquelas onde, se elevadas a certa potência , resultam na matriz zero. A gente precisa provar que se uma matriz é nilpotente, então ela não tem inversa. Depois, vamos usar esse fato para mostrar que a matriz dada não é inversível. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma matriz ser nilpotente e o que torna uma matriz inversível.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma matriz inversível. Uma matriz é inversível se existe outra matriz tal que , onde é a matriz identidade. Se uma matriz não tiver inversa, dizemos que ela é singular.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre matrizes nilpotentes. Uma matriz é nilpotente se existe um número inteiro positivo tal que , onde é a matriz zero. Por exemplo, se , então é nilpotente com .
Passo 4
Vamos provar que se é nilpotente, então ela não é inversível. Suponha que seja inversível. Então existe tal que . Mas, se , multiplicando ambos os lados por daria . Continuando esse processo, acabamos chegando em , o que contraria a existência de porque a matriz zero não é inversível. Portanto, se é nilpotente, ela não pode ser inversível.
Passo 5
Com essa prova em mente, vamos analisar a matriz dada:
Observamos que todos os elementos da diagonal principal são zero. Isso é um indicativo forte de que a matriz pode ser nilpotente. Vamos verificar isso calculando algumas potências de .
Passo 6
Calculando :
Ainda não é a matriz zero. Agora, calculando :
Ainda não chegamos na matriz zero. Vamos para :
Prontinho! . Isso confirma que é uma matriz nilpotente com .