Determinar uma base e a dimensão do conjunto formado pelas soluções dos seguintes sistemas homogêneos:
a.
b.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos dois sistemas de equações homogêneas e precisamos encontrar uma base e a dimensão do conjunto de soluções de cada um deles. A matéria envolvida aqui é Álgebra Linear, mais especificamente o estudo de sistemas lineares e espaços vetoriais. Para resolver isso, vamos precisar usar operações com matrizes e entender conceitos como base e dimensão de um espaço vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte a do exercício. O sistema é:
Nosso objetivo é encontrar todas as soluções que satisfazem essas equações. Como é um sistema homogêneo, sempre teremos pelo menos a solução trivial .
Passo 3
Vamos montar a matriz aumentada desse sistema e reduzi-la para a forma escalonada reduzida:
Primeiro, usamos a primeira equação para eliminar das outras equações.
Subtraindo 2 vezes a primeira linha da segunda:
Subtraindo 3 vezes a primeira linha da terceira:
Passo 4
Agora, vamos eliminar da terceira equação usando a segunda equação. Subtraindo a segunda linha da terceira:
Podemos simplificar a terceira linha dividindo por :
Passo 5
Agora, temos nossa matriz na forma escalonada reduzida. Vamos traduzir isso de volta para as equações:
Da terceira equação, já sabemos que . Substituindo em cima, temos e . Ou seja, a única solução é a trivial.
Passo 6
Como a única solução é a trivial, o conjunto solução é apenas o vetor zero. Isso significa que a dimensão desse espaço é 0 e não há vetores na base (ou seja, a base é vazia).
Passo 7
Agora, vamos para a parte b do exercício. O sistema é:
Novamente, queremos encontrar todas as soluções que satisfazem essas equações.
Passo 8
Vamos montar a matriz aumentada desse sistema e reduzí-la:
Primeiro, usamos a primeira equação para eliminar da segunda equação. Subtraindo 2 vezes a primeira linha da segunda:
Passo 9
Agora, vamos resolver a segunda equação para :
Substituindo na primeira equação:
Passo 10
Vamos definir como o parâmetro livre, digamos . Assim, podemos expressar as soluções como:
Isso pode ser escrito de forma vetorial como:
Passo 11
Isso mostra que todas as soluções são múltiplos do vetor . Portanto, a base do conjunto solução é esse vetor, e a dimensão é 1, já que precisamos de apenas um vetor para gerar todas as soluções.