Determinar uma base e a dimensão do conjunto formado pelas soluções dos seguintes sistemas homogêneos:
a.
b.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos dois sistemas de equações homogêneas e precisamos encontrar uma base e a dimensão do conjunto de soluções de cada um deles. A matéria envolvida aqui é Álgebra Linear, mais especificamente o estudo de sistemas lineares e espaços vetoriais. Para resolver isso, vamos precisar usar operações com matrizes e entender conceitos como base e dimensão de um espaço vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte a do exercício. O sistema é:
Nosso objetivo é encontrar todas as soluções que satisfazem essas equações. Como é um sistema homogêneo, sempre teremos pelo menos a solução trivial .

Passo 3

Vamos montar a matriz aumentada desse sistema e reduzi-la para a forma escalonada reduzida:
Primeiro, usamos a primeira equação para eliminar das outras equações.
Subtraindo 2 vezes a primeira linha da segunda:
Subtraindo 3 vezes a primeira linha da terceira:

Passo 4

Agora, vamos eliminar da terceira equação usando a segunda equação. Subtraindo a segunda linha da terceira:
Podemos simplificar a terceira linha dividindo por :

Passo 5

Agora, temos nossa matriz na forma escalonada reduzida. Vamos traduzir isso de volta para as equações:
Da terceira equação, já sabemos que . Substituindo em cima, temos e . Ou seja, a única solução é a trivial.

Passo 6

Como a única solução é a trivial, o conjunto solução é apenas o vetor zero. Isso significa que a dimensão desse espaço é 0 e não há vetores na base (ou seja, a base é vazia).

Passo 7

Agora, vamos para a parte b do exercício. O sistema é:
Novamente, queremos encontrar todas as soluções que satisfazem essas equações.

Passo 8

Vamos montar a matriz aumentada desse sistema e reduzí-la:
Primeiro, usamos a primeira equação para eliminar da segunda equação. Subtraindo 2 vezes a primeira linha da segunda:

Passo 9

Agora, vamos resolver a segunda equação para :
Substituindo na primeira equação:

Passo 10

Vamos definir como o parâmetro livre, digamos . Assim, podemos expressar as soluções como:
Isso pode ser escrito de forma vetorial como:

Passo 11

Isso mostra que todas as soluções são múltiplos do vetor . Portanto, a base do conjunto solução é esse vetor, e a dimensão é 1, já que precisamos de apenas um vetor para gerar todas as soluções.

Resposta

a. Base vazia e dimensão 0.
b. Base e dimensão 1.

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b. Todos os vetores da forma ( em que e
c. Todos os vetores da forma em que e .
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a)
b)
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a) se, e só se, ;
b) , onde é o módulo do número e é a norma de .