Determinar uma base e a dimensão do conjunto formado pelas soluções dos seguintes sistemas homogêneos:
a.
b. lx-y+z=0 2 x-z=0
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos dois sistemas de equações homogêneas e precisamos encontrar uma base e a dimensão do conjunto de soluções de cada um deles. A matéria envolvida aqui é Álgebra Linear, mais especificamente o estudo de sistemas lineares e espaços vetoriais. Para resolver isso, vamos precisar usar operações com matrizes e entender conceitos como base e dimensão de um espaço vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte a do exercício. O sistema é:
x + 2z = 0 2x + y + 3z = 0 3x + y + 2z = 0
Nosso objetivo é encontrar todas as soluções que satisfazem essas equações. Como é um sistema homogêneo, sempre teremos pelo menos a solução trivial .
Passo 3
Vamos montar a matriz aumentada desse sistema e reduzi-la para a forma escalonada reduzida:
Podemos simplificar a terceira linha dividindo por :
Passo 5
Agora, temos nossa matriz na forma escalonada reduzida. Vamos traduzir isso de volta para as equações:
x + 2z = 0 y - z = 0 z = 0
Da terceira equação, já sabemos que . Substituindo em cima, temos e . Ou seja, a única solução é a trivial.
Passo 6
Como a única solução é a trivial, o conjunto solução é apenas o vetor zero. Isso significa que a dimensão desse espaço é 0 e não há vetores na base (ou seja, a base é vazia).
Passo 7
Agora, vamos para a parte b do exercício. O sistema é:
x - y + z = 0 2x - z = 0
Novamente, queremos encontrar todas as soluções que satisfazem essas equações.
Passo 8
Vamos montar a matriz aumentada desse sistema e reduzí-la:
1 & -1 & 1 & | & 0 2 & 0 & -1 & | & 0
Primeiro, usamos a primeira equação para eliminar 1 & -1 & 1 & | & 0 0 & 2 & -3 & | & 0 da segunda equação. Subtraindo 2 vezes a primeira linha da segunda:
Passo 9
Agora, vamos resolver a segunda equação para 2y - 3z = 0 implies y = 32z :
x - 32z + z = 0 implies x - 12z = 0 implies x = 12z
Substituindo na primeira equação:
Passo 10
Vamos definir x = 12t y = 32t z = t como o parâmetro livre, digamos (x, y, z) = t ( 12, 32, 1 ) . Assim, podemos expressar as soluções como:
Isso pode ser escrito de forma vetorial como:
Passo 11
Isso mostra que todas as soluções são múltiplos do vetor . Portanto, a base do conjunto solução é esse vetor, e a dimensão é 1, já que precisamos de apenas um vetor para gerar todas as soluções.