Considere a base ordenada beta=v1, v2, v3 do R^3 com
l v1=(1,0,-1) v2=(1,1,1) v3=(-1,0,0)
Determine o valor da terceira coordenada do vetor u=(3,-4,9) na base beta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um vetor u = (3, -4, 9) no espaço R^3 e uma base ordenada beta = v1, v2, v3 onde:
v1 = (1, 0, -1), v2 = (1, 1, 1), v3 = (-1, 0, 0)
A questão é descobrir qual é a terceira coordenada de u nessa base beta. Para isso, vamos usar conceitos de bases e combinações lineares.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que expressar o vetor u na base beta significa escrever u como uma combinação dos vetores da base. Ou seja, encontrar escalares c1, c2 e c3 tais que:
u = c1 v1 + c2 v2 + c3 v3
Substituindo os vetores:
(3, -4, 9) = c1 (1, 0, -1) + c2 (1, 1, 1) + c3 (-1, 0, 0)

Passo 3

Vamos expandir essa equação componente por componente:
3 = c1 cdot 1 + c2 cdot 1 + c3 cdot (-1) -4 = c1 cdot 0 + c2 cdot 1 + c3 cdot 0 9 = c1 cdot (-1) + c2 cdot 1 + c3 cdot 0
Isso gera o seguinte sistema de equações:
c1 + c2 - c3 = 3 c2 = -4 -c1 + c2 = 9

Passo 4

Agora, vamos resolver o sistema passo a passo. A segunda equação já nos dá o valor de c2:
c2 = -4
Substituindo c2 na terceira equação:
-c1 + (-4) = 9 -c1 - 4 = 9 -c1 = 13 c1 = -13

Passo 5

Com os valores de c1 e c2 conhecidos, substituímos na primeira equação para encontrar c3:
-13 + (-4) - c3 = 3 -17 - c3 = 3 -c3 = 20 c3 = -20

Resposta

A terceira coordenada do vetor u = (3, -4, 9) na base beta é c3 = -20.

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