Determine o valor da terceira coordenada do vetor na base .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um vetor no espaço e uma base ordenada onde:
A questão é descobrir qual é a terceira coordenada de nessa base . Para isso, vamos usar conceitos de bases e combinações lineares.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que expressar o vetor na base significa escrever como uma combinação dos vetores da base. Ou seja, encontrar escalares , e tais que:
Substituindo os vetores:
Passo 3
Vamos expandir essa equação componente por componente:
Isso gera o seguinte sistema de equações:
c1 + c2 - c3 = 3 c2 = -4 -c1 + c2 = 9
Passo 4
Agora, vamos resolver o sistema passo a passo. A segunda equação já nos dá o valor de c2:
c2 = -4
Substituindo c2 na terceira equação:
-c1 + (-4) = 9 -c1 - 4 = 9 -c1 = 13 c1 = -13
Passo 5
Com os valores de c1 e c2 conhecidos, substituímos na primeira equação para encontrar c3: