• Determinar as densidades marginais da variável aleatória cuja função de densidade conjunta é dada por:
f(x, y)=cl a^2 e^-a(x+y) & x>0 e y>0 a>0 0 & qualquer outra região ã

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para determinar as densidades marginais de uma variável aleatória cuja função de densidade conjunta é dada por:
f(x, y)=cl a^2 e^-a(x+y) & x>0 e y>0 a>0 0 & qualquer outra região ã
Conteúdo da matéria: Vamos trabalhar com funções de densidade conjunta e marginais em estatística/probabilidade.
O que vamos precisar: Entender como obter densidades marginais a partir da densidade conjunta, utilizando integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são densidades marginais. A densidade marginal de uma variável aleatória é obtida integrando a densidade conjunta em relação à outra variável. Ou seja:
  • Densidade marginal de fX(x) = integral-infty^+infty f(x, y) , dy :
    fY(y) = integral-infty^+infty f(x, y) , dx
  • Densidade marginal de :
Nesse caso, como é diferente de zero apenas quando e , nossos limites de integração vão de 0 até .

Passo 3

Vamos calcular a densidade marginal de fX(x) = integral0^+infty a^2 e^-a(x+y) , dy primeiro. Substituindo na fórmula:
Aqui, é uma constante positiva.

Passo 4

Vamos simplificar a integral. Podemos fatorar o termo que depende apenas de fX(x) = a^2 e^-a x integral0^+infty e^-a y , dy :
Agora, precisamos resolver a integral .

Passo 5

A integral integral0^+infty e^-a y , dy = [ -1a e^-a y ]0^+infty = 0 - ( -1a ) = 1a é uma integral básica de exponenciais. Vamos resolver:

Passo 6

Substituindo o resultado da integral na expressão de fX(x) = a^2 e^-a x cdot 1a = a e^-a x :
Portanto, a densidade marginal de é para .

Passo 7

Agora, vamos calcular a densidade marginal de fY(y) = integral0^+infty a^2 e^-a(x+y) , dx . De forma semelhante:
fY(y) = a^2 e^-a y integral0^+infty e^-a x , dx
Fatorando o termo que depende apenas de :

Passo 8

A integral é igual a , como já resolvemos anteriormente.

Passo 9

Substituindo o resultado na expressão de fY(y) = a^2 e^-a y cdot 1a = a e^-a y :
Assim, a densidade marginal de é para .

Resposta

As densidades marginais são:
fX(x) = a e^-a x para x > 0
e
fY(y) = a e^-a y para y > 0

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