- Determinar as densidades marginais da variável aleatória cuja função de densidade conjunta é dada por:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para determinar as densidades marginais de uma variável aleatória cuja função de densidade conjunta é dada por:
Conteúdo da matéria: Vamos trabalhar com funções de densidade conjunta e marginais em estatística/probabilidade.
O que vamos precisar: Entender como obter densidades marginais a partir da densidade conjunta, utilizando integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são densidades marginais. A densidade marginal de uma variável aleatória é obtida integrando a densidade conjunta em relação à outra variável. Ou seja:
-
Densidade marginal de
: -
Densidade marginal de
:
Nesse caso, como
é diferente de zero apenas quando
e
, nossos limites de integração vão de 0 até
.
Passo 3
Vamos calcular a densidade marginal de
primeiro. Substituindo na fórmula:
Aqui,
é uma constante positiva.
Passo 4
Vamos simplificar a integral. Podemos fatorar o termo que depende apenas de
:
Agora, precisamos resolver a integral
.
Passo 5
A integral
é uma integral básica de exponenciais. Vamos resolver:
Passo 6
Substituindo o resultado da integral na expressão de
:
Portanto, a densidade marginal de
é
para
.
Passo 7
Agora, vamos calcular a densidade marginal de
. De forma semelhante:
Fatorando o termo que depende apenas de
:
Passo 8
A integral
é igual a
, como já resolvemos anteriormente.
Passo 9
Substituindo o resultado na expressão de
:
Assim, a densidade marginal de
é
para
.
Resposta
As densidades marginais são:
e