• A variável aleatória ( X, Y ) tem função de densidade igual a cy na região A de R2 definida por A=(x, y) / 0. Determine a constante k e as funções de densidades das marginais X e Y .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma função de densidade conjunta de duas variáveis aleatórias, e , que é dada por na região onde e . Nosso objetivo é encontrar a constante e as funções de densidade marginais de e .

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a constante integral0^1 integral0^1 c y , dx , dy = 1 . Sabemos que a integral da função de densidade conjunta sobre toda a região deve ser igual a 1. Então, vamos integrar em de 0 a 1 e em de 0 a 1:

Passo 3

Vamos resolver a integral interna em relação a integral0^1 c y , dx = c y integral0^1 dx = c y (1 - 0) = c y :
integral0^1 c y , dy = 1
Agora, a integral fica:

Passo 4

Agora vamos integrar em relação a c integral0^1 y , dy = c [ y^22 ]0^1 = c ( 12 - 0 ) = c2 :
c2 = 1 implies c = 2
Igualando a 1:

Passo 5

Agora que encontramos fX,Y(x, y) = 2 y , substituímos de volta na função de densidade conjunta:

Passo 6

Vamos encontrar a função de densidade marginal de fX(x) = integral0^1 2 y , dy = 2 [ y^22 ]0^1 = 2 ( 12 - 0 ) = 1 , . Isso é feito integrando a função conjunta em relação a :

Passo 7

Agora, vamos encontrar a função de densidade marginal de fY(y) = integral0^1 2 y , dx = 2 y integral0^1 dx = 2 y (1 - 0) = 2 y , . Integramos a função conjunta em relação a :

Resposta

A constante fX(x) = 1 para 0 < x < 1 é igual a 2. As funções de densidade marginais são:
fY(y) = 2 y para 0 < y < 1

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