- A variável aleatória (
) tem função de densidade igual a cy na região
de
definida por
. Determine a constante k e as funções de densidades das marginais X e Y .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma função de densidade conjunta de duas variáveis aleatórias,
e
, que é dada por
na região
onde
e
. Nosso objetivo é encontrar a constante
e as funções de densidade marginais de
e
.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a constante
. Sabemos que a integral da função de densidade conjunta sobre toda a região deve ser igual a 1. Então, vamos integrar
em
de 0 a 1 e em
de 0 a 1:
Passo 3
Vamos resolver a integral interna em relação a
:
Agora, a integral fica:
Passo 4
Agora vamos integrar em relação a
:
Igualando a 1:
Passo 5
Agora que encontramos
, substituímos de volta na função de densidade conjunta:
Passo 6
Vamos encontrar a função de densidade marginal de
,
. Isso é feito integrando a função conjunta em relação a
:
Passo 7
Agora, vamos encontrar a função de densidade marginal de
,
. Integramos a função conjunta em relação a
:
Resposta
A constante
é igual a 2. As funções de densidade marginais são: