• A variável aleatória ( ) tem função de densidade igual a cy na região de definida por . Determine a constante k e as funções de densidades das marginais X e Y .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma função de densidade conjunta de duas variáveis aleatórias, e , que é dada por na região onde e . Nosso objetivo é encontrar a constante e as funções de densidade marginais de e .

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a constante . Sabemos que a integral da função de densidade conjunta sobre toda a região deve ser igual a 1. Então, vamos integrar em de 0 a 1 e em de 0 a 1:

Passo 3

Vamos resolver a integral interna em relação a :
Agora, a integral fica:

Passo 4

Agora vamos integrar em relação a :
Igualando a 1:

Passo 5

Agora que encontramos , substituímos de volta na função de densidade conjunta:

Passo 6

Vamos encontrar a função de densidade marginal de , . Isso é feito integrando a função conjunta em relação a :

Passo 7

Agora, vamos encontrar a função de densidade marginal de , . Integramos a função conjunta em relação a :

Resposta

A constante é igual a 2. As funções de densidade marginais são:

Exercícios relacionados

Lima uma contém 30 bolinhas numeradas de 1 a 30 . Uma bolinha é escolhida e é observado seu número. Seja . Descreva os eventos:
b) o número obtido é impar
  • Determinar as densidades marginais da variável aleatória cuja função de densidade conjunta é dada por:
ã
Lima uma contém 30 bolinhas numeradas de 1 a 30 . Uma bolinha é escolhida e é observado seu número. Seja . Descreva os eventos:
d) o número obtido é maior que 16
  • Determine a função de distribuição da variável aleatória ( ), cuja densidade é dada pela expressão: se .
    a) Determine a densidades marginais e a função de distribuição de (X,Y).
    b) Calcule: .