- Seja (
) uma variável aleatória com densidade constante na região
de
definida por
. Determine
e
.
Passo 1
Então, galera, o enunciado diz que temos uma variável aleatória dupla
com densidade constante na região
do plano, definida por
. Vamos precisar usar conceitos de distribuição de probabilidade conjunta e marginal, além de entender como funciona a densidade constante em uma região.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar a função de densidade conjunta
. Como a densidade é constante na região
, precisamos encontrar esse valor constante.
Passo 3
Para encontrar a densidade constante, usamos a condição de que a integral da função de densidade sobre toda a região
deve ser igual a 1:
Como
é constante, podemos chamar de
. Então:
Passo 4
Vamos calcular a área da região
. A região está limitada por
e
. Isso significa que para cada
entre 1 e 2,
varia de 0 até
. A área é então:
Passo 5
Agora que temos a área, podemos encontrar
:
Então, a função de densidade conjunta é:
Passo 6
Agora, vamos encontrar a função de densidade marginal de
,
. Isso é feito integrando
em relação a
:
para
.
Passo 7
Por fim, vamos encontrar a função de densidade marginal de
,
. Aqui, precisamos considerar os valores de
que correspondem a cada
. Como
e
, para um valor fixo de
,
varia de
a 2.
No nosso caso, como
e
, temos que
varia de 0 a 2, e para cada
,
varia de 1 a 2; para
,
varia de
a 2.
Então:
Resposta
A função de densidade conjunta é
para
e
. As funções de densidade marginais são:
e