• Seja ( X, Y ) uma variável aleatória com densidade constante na região A de R^2 definida por A=(x, y) / 1. Determine f(x, y), f(x) e f(y).

Passo 1

Então, galera, o enunciado diz que temos uma variável aleatória dupla (X, Y) com densidade constante na região A do plano, definida por A = (x, y) mid 1 < x < 2, 0 < y < x. Vamos precisar usar conceitos de distribuição de probabilidade conjunta e marginal, além de entender como funciona a densidade constante em uma região.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar a função de densidade conjunta f(x, y). Como a densidade é constante na região A, precisamos encontrar esse valor constante.

Passo 3

Para encontrar a densidade constante, usamos a condição de que a integral da função de densidade sobre toda a região A deve ser igual a 1:
integral duplaA f(x, y), dx, dy = 1
Como f(x, y) é constante, podemos chamar de k. Então:
k cdot Área(A) = 1 Á

Passo 4

Vamos calcular a área da região A. A região está limitada por 1 < x < 2 e 0 < y < x. Isso significa que para cada x entre 1 e 2, y varia de 0 até x. A área é então:
integral1^2 integral0^x dy, dx = integral1^2 x, dx = [x^22]1^2 = 42 - 12 = 32

Passo 5

Agora que temos a área, podemos encontrar k:
k cdot 32 = 1 implies k = 23
Então, a função de densidade conjunta é:
f(x, y) = 23, para 1 < x < 2 e 0 < y < x

Passo 6

Agora, vamos encontrar a função de densidade marginal de X, f(x). Isso é feito integrando f(x, y) em relação a y:
f(x) = integral0^x f(x, y), dy = integral0^x 23, dy = 23x
para 1 < x < 2.

Passo 7

Por fim, vamos encontrar a função de densidade marginal de Y, f(y). Aqui, precisamos considerar os valores de x que correspondem a cada y. Como 0 < y < x e 1 < x < 2, para um valor fixo de y, x varia de max(1, y) a 2.
No nosso caso, como 1 < x < 2 e 0 < y < x, temos que y varia de 0 a 2, e para cada y < 1, x varia de 1 a 2; para 1 <= y < 2, x varia de y a 2.
Então:
f(y) = integral1^2 23, dx = 23(2 - 1) = 23, & se 0 < y < 1 integraly^2 23, dx = 23(2 - y), & se 1 <= y < 2

Resposta

A função de densidade conjunta é f(x, y) = 23 para 1 < x < 2 e 0 < y < x. As funções de densidade marginais são:
f(x) = 23x, 1 < x < 2
e
f(y) = 23, & 0 < y < 1 23(2 - y), & 1 <= y < 2

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