• Seja ( ) uma variável aleatória com densidade constante na região de definida por . Determine e .

Passo 1

Então, galera, o enunciado diz que temos uma variável aleatória dupla com densidade constante na região do plano, definida por . Vamos precisar usar conceitos de distribuição de probabilidade conjunta e marginal, além de entender como funciona a densidade constante em uma região.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar a função de densidade conjunta . Como a densidade é constante na região , precisamos encontrar esse valor constante.

Passo 3

Para encontrar a densidade constante, usamos a condição de que a integral da função de densidade sobre toda a região deve ser igual a 1:
Como é constante, podemos chamar de . Então:
Á

Passo 4

Vamos calcular a área da região . A região está limitada por e . Isso significa que para cada entre 1 e 2, varia de 0 até . A área é então:

Passo 5

Agora que temos a área, podemos encontrar :
Então, a função de densidade conjunta é:

Passo 6

Agora, vamos encontrar a função de densidade marginal de , . Isso é feito integrando em relação a :
para .

Passo 7

Por fim, vamos encontrar a função de densidade marginal de , . Aqui, precisamos considerar os valores de que correspondem a cada . Como e , para um valor fixo de , varia de a 2.
No nosso caso, como e , temos que varia de 0 a 2, e para cada , varia de 1 a 2; para , varia de a 2.
Então:

Resposta

A função de densidade conjunta é para e . As funções de densidade marginais são:
e

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