Determinar a dimensão e uma base para cada um dos seguintes subespaços vetoriais de M(2,2) :
a) (lla & b c & d) ; b=a+c e d=c

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar a dimensão e encontrar uma base para um subespaço vetorial específico de matrizes 2x2. O conteúdo principal envolve álgebra linear, especificamente o estudo de subespaços vetoriais e bases. Para resolver isso, vamos precisar entender como identificar as condições que definem o subespaço e como encontrar matrizes que sirvam como base.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar as condições dadas para as matrizes no subespaço:
a & b c & d
As condições são:
Essas equações relacionam os elementos da matriz, restringindo os valores que e podem assumir com base em e .

Passo 3

Vamos identificar as variáveis livres. As variáveis livres são aquelas que podem assumir qualquer valor real, enquanto as outras são determinadas por essas. Aqui, e são as variáveis livres porque e dependem delas:
Portanto, os valores de e podem ser escolhidos livremente, e e serão calculados a partir deles.

Passo 4

Agora, vamos expressar uma matriz genérica do subespaço usando as variáveis livres a & a + c c & c e :
Isso mostra que qualquer matriz no subespaço pode ser construída a partir das combinações lineares de e .

Passo 5

Para encontrar a dimensão do subespaço, contamos o número de variáveis livres. Como temos duas variáveis livres ( e ), a dimensão do subespaço é 2.

Passo 6

Agora, vamos determinar uma base para o subespaço. Precisamos encontrar matrizes que correspondam a cada variável livre de forma independente. Vamos considerar dois casos:
  1. Caso 1: 1 & 1 + 0 = 1 0 & 0 = 1 & 1 0 & 0 e 0 & 0 + 1 = 1 1 & 1 = 0 & 1 1 & 1

[


]
  1. Caso 2: e

[


]
Essas duas matrizes são linearmente independentes e geram todo o subespaço.

Resposta

A dimensão do subespaço é 2 e uma base para ele é formada pelas seguintes matrizes:
1 & 1 0 & 0 e 0 & 1 1 & 1

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