Determinar a dimensão e uma base para cada um dos seguintes subespaços vetoriais de :
a) e
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para determinar a dimensão e encontrar uma base para um subespaço vetorial específico de matrizes 2x2. O conteúdo principal envolve álgebra linear, especificamente o estudo de subespaços vetoriais e bases. Para resolver isso, vamos precisar entender como identificar as condições que definem o subespaço e como encontrar matrizes que sirvam como base.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar as condições dadas para as matrizes no subespaço:
As condições são:
Essas equações relacionam os elementos da matriz, restringindo os valores que e podem assumir com base em e .
Passo 3
Vamos identificar as variáveis livres. As variáveis livres são aquelas que podem assumir qualquer valor real, enquanto as outras são determinadas por essas. Aqui, e são as variáveis livres porque e dependem delas:
Portanto, os valores de e podem ser escolhidos livremente, e e serão calculados a partir deles.
Passo 4
Agora, vamos expressar uma matriz genérica do subespaço usando as variáveis livres e :
Isso mostra que qualquer matriz no subespaço pode ser construída a partir das combinações lineares de e .
Passo 5
Para encontrar a dimensão do subespaço, contamos o número de variáveis livres. Como temos duas variáveis livres ( e ), a dimensão do subespaço é 2.
Passo 6
Agora, vamos determinar uma base para o subespaço. Precisamos encontrar matrizes que correspondam a cada variável livre de forma independente. Vamos considerar dois casos:
Caso 1: e
[
]
Caso 2: e
[
]
Essas duas matrizes são linearmente independentes e geram todo o subespaço.
Resposta
A dimensão do subespaço é 2 e uma base para ele é formada pelas seguintes matrizes: