Determinar o domínio.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa descobrir qual é o domínio da função . Isso significa encontrar todos os valores de que fazem a função funcionar direitinho. Para isso, vamos precisar saber um pouco sobre funções e seus domínios, especialmente quando envolvem funções como o arco seno ( ).

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o domínio de uma função. O domínio é o conjunto de todos os valores possíveis de entrada (no caso, os valores de ) que deixam a função bem definida. Se a função tiver componentes que limitam esses valores, a gente precisa considerar essas restrições para determinar o domínio total.

Passo 3

Agora, vamos analisar cada componente da função :
  1. Primeira componente:
    Essa é a função identidade, ou seja, simplesmente retorna o valor de . Ela está definida para todos os números reais, sem restrições.
  2. Segunda componente:
    O arco seno de só está definido quando o valor de está entre -1 e 1. Matemáticamente, isso é expresso como:
    Se ficar fora desse intervalo, o não existe nos números reais.
  3. Terceira componente:
    Essa é uma função linear simples e, assim como a primeira componente, está definida para todos os números reais, sem restrições.

Passo 4

Para encontrar o domínio inteiro da função , precisamos considerar as restrições de todas as suas componentes. Como a primeira e a terceira componentes não impõem restrições, a única limitação vem da segunda componente, , que exige que esteja entre -1 e 1.

Resposta

Então, o domínio da função é todos os números reais tais que:

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