Determinar o domínio das funções abaixo e representá-lo no plano x0y:
f) f(x, y) = (8^x) / raiz(16 - 4x^2 - y^2) + raiz(x^2 - y - 1) / (x^2 + 9)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar o domínio da função:
O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de entrada (neste caso, e ) para os quais a função está definida. Para isso, precisamos garantir que todas as partes da função sejam válidas, ou seja:
  1. Nenhum denominador pode ser zero (evitar divisão por zero).
  2. Os radicandos (as expressões dentro das raízes quadradas) devem ser maiores ou iguais a zero para raízes reais.
  3. Expressões exponenciais como são sempre positivas, então não temos restrições adicionais aqui.
Vamos resolver isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o primeiro termo da função:
Para que esse termo seja válido:
  • O denominador não pode ser zero:
  • O radicando deve ser positivo, já que a raiz quadrada de zero resultaria em zero no denominador, o que não é permitido.
Então, temos:

Passo 3

Agora, vamos olhar para o segundo termo da função:
Para esse termo ser válido:
  • O denominador nunca é zero, já que e . Então, não há restrição aqui.
  • O radicando deve ser maior ou igual a zero para que a raiz quadrada seja real.
Portanto:

Passo 4

Agora, precisamos combinar essas duas condições para determinar o domínio completo da função. Ou seja, ambas as seguintes desigualdades devem ser verdadeiras ao mesmo tempo:

Passo 5

Vamos entender o que cada uma dessas desigualdades representa graficamente no plano :
  1. :
    • Podemos reescrever como , que é a equação de uma elipse centrada na origem, com semi-eixos de comprimento (para ) e (para ).
    • A região definida por essa desigualdade é o interior dessa elipse.
  2. :
    • Reorganizando, temos , que é uma parábola voltada para cima, deslocada 1 unidade para baixo.
    • A região definida por essa desigualdade está abaixo ou sobre essa parábola.

Passo 6

Para encontrar o domínio da função, precisamos identificar a interseção das duas regiões descritas:
  • A região dentro da elipse .
  • E a região abaixo ou sobre a parábola .
Essa interseção representa todos os pares que satisfazem simultaneamente ambas as desigualdades, garantindo que a função esteja definida.

Resposta

O domínio da função é o conjunto de todos os números reais e que satisfazem:
Em outras palavras, é a região no plano que está dentro da elipse e abaixo ou sobre a parábola .

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