Determinar o domínio das funções abaixo e representá-lo no plano x0y:
f)
f)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar o domínio da função:
O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de entrada (neste caso,
e
) para os quais a função está definida. Para isso, precisamos garantir que todas as partes da função sejam válidas, ou seja:
- Nenhum denominador pode ser zero (evitar divisão por zero).
- Os radicandos (as expressões dentro das raízes quadradas) devem ser maiores ou iguais a zero para raízes reais.
- Expressões exponenciais como
são sempre positivas, então não temos restrições adicionais aqui.
Vamos resolver isso passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o primeiro termo da função:
Para que esse termo seja válido:
- O denominador não pode ser zero:
- O radicando deve ser positivo, já que a raiz quadrada de zero resultaria em zero no denominador, o que não é permitido.
Então, temos:
Passo 3
Agora, vamos olhar para o segundo termo da função:
Para esse termo ser válido:
- O denominador
nunca é zero, já que e . Então, não há restrição aqui. - O radicando
deve ser maior ou igual a zero para que a raiz quadrada seja real.
Portanto:
Passo 4
Agora, precisamos combinar essas duas condições para determinar o domínio completo da função. Ou seja, ambas as seguintes desigualdades devem ser verdadeiras ao mesmo tempo:
Passo 5
Vamos entender o que cada uma dessas desigualdades representa graficamente no plano
:
-
: - Podemos reescrever como
, que é a equação de uma elipse centrada na origem, com semi-eixos de comprimento (para ) e (para ). - A região definida por essa desigualdade é o interior dessa elipse.
- Podemos reescrever como
-
: - Reorganizando, temos
, que é uma parábola voltada para cima, deslocada 1 unidade para baixo. - A região definida por essa desigualdade está abaixo ou sobre essa parábola.
- Reorganizando, temos
Passo 6
Para encontrar o domínio da função, precisamos identificar a interseção das duas regiões descritas:
- A região dentro da elipse
. - E a região abaixo ou sobre a parábola
.
Essa interseção representa todos os pares
que satisfazem simultaneamente ambas as desigualdades, garantindo que a função esteja definida.
Resposta
O domínio da função
é o conjunto de todos os números reais
e
que satisfazem:
Em outras palavras, é a região no plano
que está dentro da elipse
e abaixo ou sobre a parábola
.
Exercícios relacionados
Suponha que
e y são funções da variável t e estão relacionadas pela equação
. Se
, determine
.
Determinar o domínio das funções abaixo e representá-lo no plano x0y:
a)
a)
Representar, no plano
, as curvas de nível das funções abaixo correspondentes aos valores do nível
dados:
a)
a)
Nas questões de 9 a 12 escreva a equação da reta tangente ao gráfico da função definida implicitamente pela equação dada no ponto indicado.