Determinar os elementos dos conjuntos
e
tais que:
, sabendo que
são partes de
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos três conjuntos: $ A $, $ B $ e $ E $. Sabemos que $ A \cap B = {b, c} $, o complemento de $ A $ em $ E $ é $ {d, e, f} $, e o complemento de $ B $ em $ E $ é $ {a, e, f} $. Nosso objetivo é descobrir quais são os elementos de $ A $, $ B $ e $ E $. Para resolver isso, vamos usar conceitos de união, interseção e complemento de conjuntos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o complemento de um conjunto $ A $ em $ E $, escrito como $ C_E^A $, é tudo que está em $ E $ mas não está em $ A $. Então, se $ C_E^A = {d, e, f} $, isso significa que $ A $ contém todos os elementos de $ E $ que não são $ d, e, f $.
Passo 3
O mesmo vale para $ B $. Se $ C_E^B = {a, e, f} $, então $ B $ contém todos os elementos de $ E $ que não são $ a, e, f $.
Passo 4
Sabemos também que $ A \cap B = {b, c} $, ou seja, os únicos elementos que estão tanto em $ A $ quanto em $ B $ são $ b $ e $ c $.
Passo 5
Vamos pensar em $ E $. Como $ C_E^A = {d, e, f} $ e $ C_E^B = {a, e, f} $, os elementos que não estão em $ A $ são $ d, e, f $ e os que não estão em $ B $ são $ a, e, f $. Isso sugere que $ E $ deve incluir todos esses elementos mais os que estão em $ A $ e $ B $, que são $ a, b, c, d, e, f $.
Passo 6
Então, $ E = {a, b, c, d, e, f} $.
Passo 7
Agora, vamos determinar $ A $. Sabemos que $ C_E^A = {d, e, f} $, então $ A = E - C_E^A = {a, b, c} $.
Passo 8
Para $ B $, temos $ C_E^B = {a, e, f} $, então $ B = E - C_E^B = {b, c, d} $.
Resposta
Os conjuntos são:
- $ E = {a, b, c, d, e, f} $
- $ A = {a, b, c} $
- $ B = {b, c, d} $