Determinar os elementos dos conjuntos A, B e E tais que: A cap B=b, c, CE^A=d, e, f e CE^B=a, e, f, sabendo que A, B são partes de E.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos três conjuntos: $ A $, $ B $ e $ E $. Sabemos que $ A \cap B = {b, c} $, o complemento de $ A $ em $ E $ é $ {d, e, f} $, e o complemento de $ B $ em $ E $ é $ {a, e, f} $. Nosso objetivo é descobrir quais são os elementos de $ A $, $ B $ e $ E $. Para resolver isso, vamos usar conceitos de união, interseção e complemento de conjuntos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o complemento de um conjunto $ A $ em $ E $, escrito como $ C_E^A $, é tudo que está em $ E $ mas não está em $ A $. Então, se $ C_E^A = {d, e, f} $, isso significa que $ A $ contém todos os elementos de $ E $ que não são $ d, e, f $.

Passo 3

O mesmo vale para $ B $. Se $ C_E^B = {a, e, f} $, então $ B $ contém todos os elementos de $ E $ que não são $ a, e, f $.

Passo 4

Sabemos também que $ A \cap B = {b, c} $, ou seja, os únicos elementos que estão tanto em $ A $ quanto em $ B $ são $ b $ e $ c $.

Passo 5

Vamos pensar em $ E $. Como $ C_E^A = {d, e, f} $ e $ C_E^B = {a, e, f} $, os elementos que não estão em $ A $ são $ d, e, f $ e os que não estão em $ B $ são $ a, e, f $. Isso sugere que $ E $ deve incluir todos esses elementos mais os que estão em $ A $ e $ B $, que são $ a, b, c, d, e, f $.

Passo 6

Então, $ E = {a, b, c, d, e, f} $.

Passo 7

Agora, vamos determinar $ A $. Sabemos que $ C_E^A = {d, e, f} $, então $ A = E - C_E^A = {a, b, c} $.

Passo 8

Para $ B $, temos $ C_E^B = {a, e, f} $, então $ B = E - C_E^B = {b, c, d} $.

Resposta

Os conjuntos são:
  • $ E = {a, b, c, d, e, f} $
  • $ A = {a, b, c} $
  • $ B = {b, c, d} $

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