Determinar uma equação geral do plano que contém as retas:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar a equação geral de um plano que contém duas retas, e . Para isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre planos e retas no espaço tridimensional. Precisamos encontrar uma equação que satisfaça todos os pontos dessas duas retas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as equações das retas que temos:
Para :
Podemos reescrever essa reta em forma paramétrica. Vamos considerar , então:
Isso nos dá um ponto na reta quando : , e o vetor diretor .
Passo 3
Agora, para x - 12 = y - 41 = z - 22 = s :
x = 2s + 1 y = s + 4 z = 2s + 2
Aqui, também podemos expressar em forma paramétrica:
Quando , temos o ponto , e o vetor diretor .
Passo 4
Para encontrar a equação do plano que contém ambas as retas, precisamos de um ponto no plano e de dois vetores diretores que estão no plano. Já temos dois vetores diretores: PQ = Q - P = (1 - 0, 4 - 2, 2 - (-1)) = (1, 2, 3) e .
Vamos pegar um ponto de , por exemplo , e o ponto de , .
O vetor será:
Passo 5
Para definir o plano, precisamos encontrar um vetor normal n = v1 times v2 = i & j & k 1 & 2 & 3 2 & 1 & 2 = i(2 times 2 - 3 times 1) - j(1 times 2 - 3 times 2) + k(1 times 1 - 2 times 2) = (4 - 3)i - (2 - 6)j + (1 - 4)k = (1, 4, -3) ao plano. Isso pode ser feito calculando o produto vetorial entre os vetores diretores e :
Passo 6
Agora que temos o vetor normal a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0 e um ponto 1(x - 0) + 4(y - 2) - 3(z + 1) = 0 no plano, podemos usar a equação geral do plano:
x + 4y - 8 - 3z - 3 = 0 x + 4y - 3z - 11 = 0
Substituindo:
Simplificando:
Resposta
A equação geral do plano que contém as retas x + 4y - 3z - 11 = 0 e é: