Escrever uma equação geral e as equações paramétricas do plano determinado pelos pontos: A(2,1,6), B(-1,4,8), C(1,-1,-1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa escrever a equação geral e as equações paramétricas do plano que passa pelos pontos , e . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como vetores e equações de planos. Vamos precisar calcular vetores no plano, o produto vetorial para achar o vetor normal e montar as equações pedidas.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar dois vetores que estão no plano formado pelos pontos AB = B - A = (-1 - 2, 4 - 1, 8 - 6) = (-3, 3, 2) , AC = C - A = (1 - 2, -1 - 1, -1 - 6) = (-1, -2, -7) e . Podemos fazer isso calculando os vetores e .
  • O vetor é dado por:
  • O vetor é dado por:

Passo 3

Agora, para encontrar o vetor normal ao plano, que é perpendicular a ambos os vetores n = i & j & k -3 & 3 & 2 -1 & -2 & -7 e n = i(3 cdot (-7) - 2 cdot (-2)) - j(-3 cdot (-7) - 2 cdot (-1)) + k(-3 cdot (-2) - 3 cdot (-1)) , vamos calcular o produto vetorial desses vetores.
O produto vetorial n = i(-21 + 4) - j(21 + 2) + k(6 + 3) é:
n = i(-17) - j(23) + k(9)
Calculando o determinante:
n = (-17, -23, 9)

Passo 4

Com o vetor normal A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0 e um ponto conhecido no plano, por exemplo, o ponto -17(x - 2) -23(y - 1) + 9(z - 6) = 0 , podemos escrever a equação geral do plano usando a fórmula:
-17x + 34 -23y +23 +9z -54 = 0
Onde -17x -23y +9z + (34 +23 -54) = 0 são as componentes do vetor normal e -17x -23y +9z +3 = 0 são as coordenadas do ponto 17x +23y -9z -3 = 0 .
Substituindo:
Distribuindo:
Simplificando:
Podemos multiplicar toda a equação por -1 para deixar os coeficientes positivos:
Essa é a equação geral do plano.

Passo 5

Agora, vamos escrever as equações paramétricas do plano. Para isso, usamos um ponto do plano e dois vetores diretores que estão no plano. Podemos usar o ponto x = x0 + s cdot ux + t cdot vx y = y0 + s cdot uy + t cdot vy z = z0 + s cdot uz + t cdot vz e os vetores x = 2 -3s - t y = 1 +3s -2t z = 6 +2s -7t e .
As equações paramétricas ficam:
Substituindo os valores:
Onde e são parâmetros que podem assumir qualquer valor real.

Resposta

A equação geral do plano é x = 2 -3s - t y = 1 +3s -2t z = 6 +2s -7t e as equações paramétricas são:

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