Escrever uma equação geral e as equações paramétricas do plano determinado pelos pontos: .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa escrever a equação geral e as equações paramétricas do plano que passa pelos pontos , e . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como vetores e equações de planos. Vamos precisar calcular vetores no plano, o produto vetorial para achar o vetor normal e montar as equações pedidas.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar dois vetores que estão no plano formado pelos pontos , e . Podemos fazer isso calculando os vetores e .
O vetor é dado por:
O vetor é dado por:
Passo 3
Agora, para encontrar o vetor normal ao plano, que é perpendicular a ambos os vetores e , vamos calcular o produto vetorial desses vetores.
O produto vetorial é:
Calculando o determinante:
n = (-17, -23, 9)
Passo 4
Com o vetor normal A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0 e um ponto conhecido no plano, por exemplo, o ponto -17(x - 2) -23(y - 1) + 9(z - 6) = 0 , podemos escrever a equação geral do plano usando a fórmula:
-17x + 34 -23y +23 +9z -54 = 0
Onde -17x -23y +9z + (34 +23 -54) = 0 são as componentes do vetor normal e -17x -23y +9z +3 = 0 são as coordenadas do ponto 17x +23y -9z -3 = 0 .
Substituindo:
Distribuindo:
Simplificando:
Podemos multiplicar toda a equação por -1 para deixar os coeficientes positivos:
Essa é a equação geral do plano.
Passo 5
Agora, vamos escrever as equações paramétricas do plano. Para isso, usamos um ponto do plano e dois vetores diretores que estão no plano. Podemos usar o ponto x = x0 + s cdot ux + t cdot vx y = y0 + s cdot uy + t cdot vy z = z0 + s cdot uz + t cdot vz e os vetores x = 2 -3s - t y = 1 +3s -2t z = 6 +2s -7t e .
As equações paramétricas ficam:
Substituindo os valores:
Onde e são parâmetros que podem assumir qualquer valor real.
Resposta
A equação geral do plano é x = 2 -3s - t y = 1 +3s -2t z = 6 +2s -7t e as equações paramétricas são: