Determinar uma equação geral do plano que contém as retas:
r1:l x=2 y-2 z=y-3 r2:l y=2 x+1 z=-3 x-2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinarmos uma equação geral de um plano que contém duas retas específicas, chamadas e . Para isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, como vetores, planos e sistemas de equações. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos entender as equações das retas que temos:
Para x = 2y - 2 z = y - 3 :
y = 2x + 1 z = -3x - 2
Para :
Nosso objetivo é encontrar uma equação do plano que contenha ambas as retas.

Passo 3

Vamos começar encontrando vetores diretores para cada reta. Um vetor diretor é um vetor que indica a direção da reta. Para isso, vamos parametrizar cada uma das retas.
Para y = t x = 2t - 2 z = t - 3 , vamos expressar 2 1 1 como parâmetro x = s y = 2s + 1 z = -3s - 2 :
1 2 -3
Então, o vetor diretor de é .
Para , vamos expressar como parâmetro :
Então, o vetor diretor de é .

Passo 4

Agora que temos os vetores diretores das duas retas, podemos encontrar o vetor normal ao plano que contém essas retas. O vetor normal ( n = v1 times v2 ) é perpendicular ao plano e pode ser encontrado pelo produto vetorial dos vetores diretores das retas:
n = i & j & k 2 & 1 & 1 1 & 2 & -3 = i(1 cdot (-3) - 1 cdot 2) - j(2 cdot (-3) - 1 cdot 1) + k(2 cdot 2 - 1 cdot 1)
Vamos calcular esse produto vetorial:
n = i(-3 - 2) - j(-6 - 1) + k(4 - 1) = i(-5) - j(-7) + k(3)
Simplificando:
n = -5 7 3
Então, o vetor normal é:

Passo 5

Com o vetor normal -5 7 3 e um ponto qualquer que pertença ao plano, podemos escrever a equação geral do plano. Vamos escolher um ponto de uma das retas, por exemplo, x = 2(0) - 2 = -2 y = 0 z = 0 - 3 = -3 . Para , temos:
Então, o ponto é .

Passo 6

A equação geral do plano é dada por:
n cdot (r - r0) = 0
Onde:
  • x y z é o vetor normal,
  • -2 0 -3 é um ponto genérico do plano,
  • -5 7 3 cdot ( x y z - -2 0 -3 ) = 0 é o ponto que escolhemos.
Vamos substituir os valores:
-5(x + 2) + 7(y - 0) + 3(z + 3) = 0
Simplificando a expressão:
-5x - 10 + 7y + 3z + 9 = 0
Expandindo:
-5x + 7y + 3z - 1 = 0
Combinando os termos constantes:

Resposta

A equação geral do plano que contém as retas -5x + 7y + 3z - 1 = 0 e é:

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