Determinar uma equação geral do plano que contém as retas:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinarmos uma equação geral de um plano que contém duas retas específicas, chamadas e . Para isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, como vetores, planos e sistemas de equações. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos entender as equações das retas que temos:
Para :
Para :
Nosso objetivo é encontrar uma equação do plano que contenha ambas as retas.
Passo 3
Vamos começar encontrando vetores diretores para cada reta. Um vetor diretor é um vetor que indica a direção da reta. Para isso, vamos parametrizar cada uma das retas.
Para , vamos expressar como parâmetro :
Então, o vetor diretor de é .
Para , vamos expressar como parâmetro :
Então, o vetor diretor de é .
Passo 4
Agora que temos os vetores diretores das duas retas, podemos encontrar o vetor normal ao plano que contém essas retas. O vetor normal ( n = v1 times v2 ) é perpendicular ao plano e pode ser encontrado pelo produto vetorial dos vetores diretores das retas:
Com o vetor normal -5 7 3 e um ponto qualquer que pertença ao plano, podemos escrever a equação geral do plano. Vamos escolher um ponto de uma das retas, por exemplo, x = 2(0) - 2 = -2 y = 0 z = 0 - 3 = -3 . Para , temos:
Então, o ponto é .
Passo 6
A equação geral do plano é dada por:
n cdot (r - r0) = 0
Onde:
x y z é o vetor normal,
-2 0 -3 é um ponto genérico do plano,
-5 7 3 cdot ( x y z - -2 0 -3 ) = 0 é o ponto que escolhemos.
Vamos substituir os valores:
-5(x + 2) + 7(y - 0) + 3(z + 3) = 0
Simplificando a expressão:
-5x - 10 + 7y + 3z + 9 = 0
Expandindo:
-5x + 7y + 3z - 1 = 0
Combinando os termos constantes:
Resposta
A equação geral do plano que contém as retas -5x + 7y + 3z - 1 = 0 e é: