Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se o espaço tridimensional pode ser decomposto como a soma direta dos subespaços e . Aqui, estamos lidando com espaços vetoriais e soma direta de subespaços. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é soma direta e verificar se cada vetor de pode ser escrito de forma única como a soma de um vetor de e um vetor de .
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são os subespaços e :
: Isso significa que todo vetor em tem a forma , onde pode ser qualquer número real. Então, é basicamente o eixo no espaço tridimensional.
: Aqui, todo vetor em satisfaz a equação . Isso define um plano no espaço tridimensional.
Passo 3
Agora, para verificar se , precisamos confirmar duas coisas:
A soma de e gera todo o espaço . Ou seja, qualquer vetor em pode ser escrito como a soma de um vetor de e um vetor de .
A interseção de e é apenas o vetor nulo, ou seja, .
Se essas duas condições forem verdadeiras, então é a soma direta de e .
Passo 4
Vamos primeiro verificar a interseção . Um vetor está em se ele pertence a e a ao mesmo tempo. Então, procuramos vetores que também satisfazem . Isso implica que . Portanto, o único vetor na interseção é o vetor nulo . Ou seja, .
Passo 5
Agora, precisamos ver se qualquer vetor pode ser escrito como a soma de um vetor de e um vetor de . Vamos supor que:
Onde e . Somando os vetores, temos:
Isso nos dá o sistema de equações:
Além disso, como (x, y, w) in W, devemos ter x + y + w = 0. Substituindo x = a e y = b, temos:
a + b + w = 0 implies w = -a - b
Agora, sabemos que w = -a - b, e do sistema anterior, z + w = c. Substituindo w, temos:
z - a - b = c implies z = a + b + c
Passo 6
Assim, para qualquer vetor (a, b, c), podemos escolher:
(0, 0, z) = (0, 0, a + b + c) in U
(x, y, w) = (a, b, -a - b) in W
E então:
(a, b, c) = (0, 0, a + b + c) + (a, b, -a - b)
Portanto, qualquer vetor em R^3 pode ser escrito como a soma de um vetor de U e um vetor de W, e essa decomposição é única devido à interseção sendo apenas o vetor nulo.