Considere os subespaços U, W do R^3 definidos por:
U=(x, y, z) in R^3 mid x=y=0 e W=(x, y, z) in R^3 mid x+y+z=0
É possível afirmar que R^3=U oplus W ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se o espaço tridimensional R^3 pode ser decomposto como a soma direta dos subespaços U e W. Aqui, estamos lidando com espaços vetoriais e soma direta de subespaços. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é soma direta e verificar se cada vetor de R^3 pode ser escrito de forma única como a soma de um vetor de U e um vetor de W.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são os subespaços U e W:
  • U = (x, y, z) in R^3 mid x = y = 0: Isso significa que todo vetor em U tem a forma (0, 0, z), onde z pode ser qualquer número real. Então, U é basicamente o eixo z no espaço tridimensional.
  • W = (x, y, z) in R^3 mid x + y + z = 0: Aqui, todo vetor em W satisfaz a equação x + y + z = 0. Isso define um plano no espaço tridimensional.

Passo 3

Agora, para verificar se R^3 = U oplus W, precisamos confirmar duas coisas:
  1. A soma de U e W gera todo o espaço R^3. Ou seja, qualquer vetor em R^3 pode ser escrito como a soma de um vetor de U e um vetor de W.
  2. A interseção de U e W é apenas o vetor nulo, ou seja, U cap W = 0.
Se essas duas condições forem verdadeiras, então R^3 é a soma direta de U e W.

Passo 4

Vamos primeiro verificar a interseção U cap W. Um vetor está em U cap W se ele pertence a U e a W ao mesmo tempo. Então, procuramos vetores (0, 0, z) que também satisfazem 0 + 0 + z = 0. Isso implica que z = 0. Portanto, o único vetor na interseção é o vetor nulo (0, 0, 0). Ou seja, U cap W = 0.

Passo 5

Agora, precisamos ver se qualquer vetor (a, b, c) in R^3 pode ser escrito como a soma de um vetor de U e um vetor de W. Vamos supor que:
(a, b, c) = (0, 0, z) + (x, y, w)
Onde (0, 0, z) in U e (x, y, w) in W. Somando os vetores, temos:
(a, b, c) = (x, y, z + w)
Isso nos dá o sistema de equações:
x = a y = b z + w = c
Além disso, como (x, y, w) in W, devemos ter x + y + w = 0. Substituindo x = a e y = b, temos:
a + b + w = 0 implies w = -a - b
Agora, sabemos que w = -a - b, e do sistema anterior, z + w = c. Substituindo w, temos:
z - a - b = c implies z = a + b + c

Passo 6

Assim, para qualquer vetor (a, b, c), podemos escolher:
  • (0, 0, z) = (0, 0, a + b + c) in U
  • (x, y, w) = (a, b, -a - b) in W
E então:
(a, b, c) = (0, 0, a + b + c) + (a, b, -a - b)
Portanto, qualquer vetor em R^3 pode ser escrito como a soma de um vetor de U e um vetor de W, e essa decomposição é única devido à interseção sendo apenas o vetor nulo.

Resposta

Sim, é possível afirmar que R^3 = U oplus W.

Exercícios relacionados

Escrever uma equação geral e as equações paramétricas do plano determinado pelos pontos: A(2,1,6), B(-1,4,8), C(1,-1,-1).
Determinar a equação geral do plano perpendicular à reta r : ly=3 x+2 z=4 x-2 e que contenha o ponto A(3,1,2).
Determinar uma equação geral do plano que contém as retas:
r1:l y=2 x+2 z=3 x-1 r2:x-12=y-41=z-22
Determinar uma equação geral do plano que contém as retas:
r1:l x=2 y-2 z=y-3 r2:l y=2 x+1 z=-3 x-2