Determinar a equação geral do plano que contenha o ponto e a reta dados:
A(3,4,6) e rlx=t y=3-t z=3+2 t

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação geral do plano que passa pelo ponto rl x = t y = 3 - t z = 3 + 2t e contém a reta definida por:
Matéria envolvida: Geometria Analítica no espaço, especificamente sobre equações de planos e retas.
O que vamos precisar:
  1. Entender como representar uma reta no espaço.
  2. Saber como encontrar a equação geral de um plano utilizando um ponto e um vetor normal.
  3. Utilizar operações vetoriais, como o produto vetorial, para encontrar o vetor normal ao plano.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar um vetor diretor da reta x = t y = 3 - t z = 3 + 2t . A reta está parametrizada por v = 1 -1 2 , então os coeficientes de nas equações são os componentes do vetor diretor.
Da reta :
O vetor diretor é:

Passo 3

Agora, precisamos de outro vetor que esteja no plano. Sabemos que o ponto x = 0 y = 3 z = 3 está no plano e que a reta AB = 0 - 3 3 - 4 3 - 6 = -3 -1 -3 também está no plano. Vamos escolher um ponto qualquer na reta para construir esse vetor.
Vamos escolher na reta :
Então, um ponto na reta é .
O vetor que vai de para é:

Passo 4

Agora temos dois vetores no plano:
v = 1 -1 2 e AB = -3 -1 -3
Para encontrar o vetor normal n = v times AB ao plano, podemos calcular o produto vetorial desses dois vetores:
n = i & j & k 1 & -1 & 2 -3 & -1 & -3 = i((-1)(-3) - (2)(-1)) - j((1)(-3) - (2)(-3)) + k((1)(-1) - (-1)(-3))
Calculando o produto vetorial:
n = i(3 + 2) - j(-3 + 6) + k(-1 - 3)
n = 5 -3 -4

Passo 5

Agora que temos o vetor normal 5 -3 -4 e um ponto n cdot x - x0 y - y0 z - z0 = 0 no plano, podemos usar a forma geral da equação do plano:
5(x - 3) - 3(y - 4) - 4(z - 6) = 0
Onde 5x - 15 - 3y + 12 - 4z + 24 = 0 é o ponto 5x - 3y - 4z + ( -15 + 12 + 24 ) = 0 .
Substituindo:
5x - 3y - 4z + 21 = 0
Distribuindo os termos:
Simplificando:

Resposta

A equação geral do plano é:
5x - 3y - 4z + 21 = 0

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