Determinar a equação geral do plano que contenha o ponto e a reta dados: e o eixo
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar a equação geral de um plano que passe pelo ponto e contenha o eixo . Vamos trabalhar com Geometria Analítica e usar a teoria sobre equações de planos. Precisamos lembrar que a equação geral do plano é dada por , e vamos precisar encontrar os coeficientes , , e .
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa o plano conter o eixo . O eixo é formado por todos os pontos onde e , ou seja, qualquer ponto da forma .
Passo 3
Como o plano contém todos esses pontos, vamos substituir e na equação geral do plano:
Passo 4
Essa equação tem que ser verdadeira para qualquer valor de . A única maneira disso acontecer é se os coeficientes de e o termo constante forem zero. Então:
Passo 5
Com e , a equação do plano fica simplificada para:
Passo 6
Agora, sabemos que o ponto está no plano. Vamos substituir as coordenadas desse ponto na equação do plano para encontrar a relação entre e :
Passo 7
Vamos resolver essa equação para encontrar uma relação entre e . Podemos expressar em termos de :
Passo 8
Para simplificar, vamos escolher um valor para . Vamos escolher (pode ser qualquer valor diferente de zero). Assim:
Passo 9
Agora que temos e , substituímos de volta na equação do plano:
Podemos também escrever de forma positiva multiplicando ambos os lados por -1:
Resposta
A equação geral do plano que contém o ponto e o eixo é: