Obter uma equação geral do plano paralelo ao eixo dos x e que contenha os pontos A(-4,1,2), B(0,-3,4).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a equação geral de um plano que seja paralelo ao eixo dos e que passe pelos pontos e . Aqui, estamos trabalhando com geometria analítica 3D, focando em equações de planos no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a equação geral de um plano é dada por:
ax + by + cz + d = 0
onde , , e são os coeficientes que definem a orientação do plano, e é o termo constante.

Passo 3

Como o plano é paralelo ao eixo dos a cdot 1 + b cdot 0 + c cdot 0 = 0 Rightarrow a = 0 , isso nos dá uma informação importante sobre os coeficientes da equação. O eixo dos by + cz + d = 0 tem direção . Para que o plano seja paralelo a esse eixo, o vetor normal ao plano deve ser perpendicular a esse vetor de direção. Ou seja, o produto escalar entre o vetor normal e deve ser zero:
Portanto, a equação do plano simplifica para:

Passo 4

Agora, precisamos usar os pontos b(1) + c(2) + d = 0 Rightarrow b + 2c + d = 0 (Equação 1) e b(-3) + c(4) + d = 0 Rightarrow -3b + 4c + d = 0 (Equação 2) para determinar os valores de , e . Vamos substituir as coordenadas desses pontos na equação do plano.
Para o ponto :
çã
Para o ponto :
çã

Passo 5

Agora temos um sistema de duas equações com três incógnitas:
b + 2c + d = 0 -3b + 4c + d = 0
Podemos resolver esse sistema para encontrar relações entre (-3b + 4c + d) - (b + 2c + d) = 0 Rightarrow -4b + 2c = 0 Rightarrow 2c = 4b Rightarrow c = 2b , b + 2(2b) + d = 0 Rightarrow b + 4b + d = 0 Rightarrow 5b + d = 0 Rightarrow d = -5b e c = 2 cdot 1 = 2 d = -5 cdot 1 = -5 . Vamos subtrair a Equação 1 da Equação 2:
Agora, substituímos na Equação 1:
Então, temos e . Podemos escolher um valor para para simplificar. Vamos escolher :
Portanto, os coeficientes ficam , e .

Resposta

A equação geral do plano é:
y + 2z - 5 = 0

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