Obter uma equação geral do plano paralelo ao eixo dos
e que contenha os pontos
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a equação geral de um plano que seja paralelo ao eixo dos
e que passe pelos pontos
e
. Aqui, estamos trabalhando com geometria analítica 3D, focando em equações de planos no espaço.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a equação geral de um plano é dada por:
onde
,
, e
são os coeficientes que definem a orientação do plano, e
é o termo constante.
Passo 3
Como o plano é paralelo ao eixo dos
, isso nos dá uma informação importante sobre os coeficientes da equação. O eixo dos
tem direção
. Para que o plano seja paralelo a esse eixo, o vetor normal ao plano deve ser perpendicular a esse vetor de direção. Ou seja, o produto escalar entre o vetor normal
e
deve ser zero:
Portanto, a equação do plano simplifica para:
Passo 4
Agora, precisamos usar os pontos
e
para determinar os valores de
,
e
. Vamos substituir as coordenadas desses pontos na equação do plano.
Para o ponto
:
Para o ponto
:
Passo 5
Agora temos um sistema de duas equações com três incógnitas:
Podemos resolver esse sistema para encontrar relações entre
,
e
. Vamos subtrair a Equação 1 da Equação 2:
Agora, substituímos
na Equação 1:
Então, temos
e
. Podemos escolher um valor para
para simplificar. Vamos escolher
:
Portanto, os coeficientes ficam
,
e
.
Resposta
A equação geral do plano é:
Exercícios relacionados
Escrever a equação do plano que passa por
e é perpendicular ao segmento que liga este ponto ao ponto
.
Determinar a equação geral do plano que contenha o ponto e a reta dados:
e o eixo
Em cada parte, determine se a matriz está em forma escalonada, em forma escalonada reduzida, ambas ou nenhuma.
(h)
(h)
Determine as interseções dos planos com os eixos coordenados e represente graficamente: