Determinar uma equação geral do plano perpendicular à reta
r:cx=-2+3 t y=1+3 t z=2 t e que contenha o ponto A(1,-3,2)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a equação geral de um plano que seja perpendicular à reta dada por:
r: x = -2 + 3t y = 1 + 3t z = 2t
Além disso, esse plano deve conter o ponto .
Para resolver isso, vamos precisar lembrar de:
  • A relação entre a direção de uma reta e o vetor normal de um plano.
  • A forma geral da equação de um plano.
  • Como usar um ponto conhecido para determinar a equação do plano.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o vetor diretor da reta d = 3 3 2 . A reta está parametrizada por , e os coeficientes de em cada equação nos dão o vetor diretor.
Então, o vetor diretor é:

Passo 3

Sabemos que se um plano é perpendicular a uma reta, o vetor diretor da reta é paralelo ao vetor normal do plano. Ou seja, o vetor normal n = 3 3 2 do plano é igual ou proporcional ao vetor diretor da reta.
Portanto, podemos tomar:

Passo 4

A forma geral da equação de um plano é:
n1(x - x0) + n2(y - y0) + n3(z - z0) = 0
onde n1 n2 n3 é o vetor normal e é um ponto que pertence ao plano.

Passo 5

Sabemos que o ponto 3 3 2 está no plano. Vamos substituir 3(x - 1) + 3(y + 3) + 2(z - 2) = 0 e na equação geral do plano.
Então, temos:

Passo 6

Agora, vamos simplificar a equação:
3x - 3 + 3y + 9 + 2z - 4 = 0
3x + 3y + 2z + 2 = 0

Resposta

A equação geral do plano é:
3x + 3y + 2z + 2 = 0

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