Determinar uma equação geral do plano perpendicular à reta e que contenha o ponto A(1,-3,2)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a equação geral de um plano que seja perpendicular à reta dada por:
r: x = -2 + 3t y = 1 + 3t z = 2t
Além disso, esse plano deve conter o ponto .
Para resolver isso, vamos precisar lembrar de:
A relação entre a direção de uma reta e o vetor normal de um plano.
A forma geral da equação de um plano.
Como usar um ponto conhecido para determinar a equação do plano.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o vetor diretor da reta d = 3 3 2 . A reta está parametrizada por , e os coeficientes de em cada equação nos dão o vetor diretor.
Então, o vetor diretor é:
Passo 3
Sabemos que se um plano é perpendicular a uma reta, o vetor diretor da reta é paralelo ao vetor normal do plano. Ou seja, o vetor normal n = 3 3 2 do plano é igual ou proporcional ao vetor diretor da reta.
Portanto, podemos tomar:
Passo 4
A forma geral da equação de um plano é:
n1(x - x0) + n2(y - y0) + n3(z - z0) = 0
onde n1 n2 n3 é o vetor normal e é um ponto que pertence ao plano.
Passo 5
Sabemos que o ponto 3 3 2 está no plano. Vamos substituir 3(x - 1) + 3(y + 3) + 2(z - 2) = 0 e na equação geral do plano.