Dada a equação geral do plano pi: 4 x-2 y+z-3=0, determinar:
A) um sistema de equações paramétricas de pi.
B) o ponto de pi que tem abscissa 2 e ordenada 5
C) o ponto de pi que tem abscissa 0 e cota 3 ;
D) o valor de k para que o ponto P(k, 3, k-1) pertença a pi;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado da questão pede para trabalharmos com a equação geral de um plano, que é pi: 4x - 2y + z - 3 = 0. O conteúdo aqui envolve geometria analítica, mais especificamente estudo de planos no espaço tridimensional. Para resolver cada parte do exercício, vamos precisar entender como transformar a equação do plano em formas diferentes, encontrar pontos específicos que pertencem ao plano e determinar condições para que um ponto esteja no plano.

Passo 2

A) Sistema de equações paramétricas de pi.
Primeiro, vamos transformar a equação geral do plano em um sistema de equações paramétricas. Para isso, precisamos expressar duas variáveis em função de parâmetros livres.
A equação do plano é:
4x - 2y + z - 3 = 0
Vamos isolar uma das variáveis, por exemplo, z:
z = -4x + 2y + 3
Agora, vamos escolher dois parâmetros, digamos, s e t, para representar x e y:
x = s
y = t
Substituindo esses na expressão de z:
z = -4s + 2t + 3
Então, as equações paramétricas são:
x = s y = t z = -4s + 2t + 3

Passo 3

B) O ponto de pi que tem abscissa 2 e ordenada 5.
Queremos encontrar o ponto no plano pi cujo x = 2 e y = 5. Vamos usar a equação do plano para achar o valor de z correspondente.
Substituindo x = 2 e y = 5 na equação:
4(2) - 2(5) + z - 3 = 0
8 - 10 + z - 3 = 0
-5 + z = 0
z = 5
Portanto, o ponto é (2, 5, 5).

Passo 4

C) O ponto de pi que tem abscissa 0 e cota 3.
Aqui, precisamos encontrar o ponto no plano pi com x = 0 e z = 3. Vamos usar a equação do plano para encontrar y.
Substituindo x = 0 e z = 3:
4(0) - 2y + 3 - 3 = 0
-2y = 0
y = 0
Então, o ponto é (0, 0, 3).

Passo 5

D) O valor de k para que o ponto P(k, 3, k-1) pertença a pi.
Queremos que o ponto P(k, 3, k-1) satisfaça a equação do plano pi: 4x - 2y + z - 3 = 0.
Vamos substituir as coordenadas do ponto na equação:
4(k) - 2(3) + (k - 1) - 3 = 0
4k - 6 + k - 1 - 3 = 0
5k - 10 = 0
5k = 10
k = 2

Resposta

A solução das partes A, B, C e D para a equação do plano pi: 4x - 2y + z - 3 = 0 são:
A) Sistema de equações paramétricas:
x = s y = t z = -4s + 2t + 3
B) Ponto com abscissa 2 e ordenada 5: (2, 5, 5)
C) Ponto com abscissa 0 e cota 3: (0, 0, 3)
D) Valor de k para que P(k, 3, k-1) pertença a pi: k = 2

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