Dada a equação geral do plano , determinar:
A) um sistema de equações paramétricas de .
B) o ponto de que tem abscissa 2 e ordenada 5
C) o ponto de que tem abscissa 0 e cota 3 ;
D) o valor de k para que o ponto pertença a ;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado da questão pede para trabalharmos com a equação geral de um plano, que é . O conteúdo aqui envolve geometria analítica, mais especificamente estudo de planos no espaço tridimensional. Para resolver cada parte do exercício, vamos precisar entender como transformar a equação do plano em formas diferentes, encontrar pontos específicos que pertencem ao plano e determinar condições para que um ponto esteja no plano.
Passo 2
A) Sistema de equações paramétricas de .
Primeiro, vamos transformar a equação geral do plano em um sistema de equações paramétricas. Para isso, precisamos expressar duas variáveis em função de parâmetros livres.
A equação do plano é:
Vamos isolar uma das variáveis, por exemplo, :
Agora, vamos escolher dois parâmetros, digamos, e , para representar e :
Substituindo esses na expressão de :
Então, as equações paramétricas são:
Passo 3
B) O ponto de que tem abscissa 2 e ordenada 5.
Queremos encontrar o ponto no plano cujo e . Vamos usar a equação do plano para achar o valor de correspondente.
Substituindo e na equação:
Portanto, o ponto é .
Passo 4
C) O ponto de que tem abscissa 0 e cota 3.
Aqui, precisamos encontrar o ponto no plano com e . Vamos usar a equação do plano para encontrar .
Substituindo e :
Então, o ponto é .
Passo 5
D) O valor de para que o ponto pertença a .
Queremos que o ponto satisfaça a equação do plano : .
Vamos substituir as coordenadas do ponto na equação:
Resposta
A solução das partes A, B, C e D para a equação do plano são: