Determinar a equação geral dos planos nos seguintes casos:
(i) contém as retas r: x2=y+1=z+3 e s: x+14=y-22=z2;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a equação geral de um plano que contém duas retas específicas. Aqui, estamos trabalhando com Geometria Analítica, que lida com representações geométricas usando coordenadas e equações. Para resolver, vamos precisar entender como encontrar a equação de um plano a partir de duas retas que ele contém.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as retas dadas no problema. A reta x2 = y + 1 = z + 3 está representada por:
x + 14 = y - 22 = z2
E a reta é:
Essas equações estão na forma simétrica, que nos ajuda a identificar um ponto e um vetor diretor para cada reta.

Passo 3

Vamos encontrar um ponto e um vetor diretor para cada reta.
Para a reta x = 2t, y = -1 + t, z = -3 + t :
Podemos escrever as equações paramétricas da reta x = -1 + 4t, y = 2 + 2t, z = 0 + 2t :
Então, um ponto na reta é quando , e o vetor diretor é .
Para a reta :
Escrevendo as equações paramétricas da reta :
Um ponto na reta é quando , e o vetor diretor é .

Passo 4

Agora, precisamos encontrar um vetor que une os pontos PQ = Q - P = (-1 - 0, 2 - (-1), 0 - (-3)) = (-1, 3, 3) e . Esse vetor, que chamaremos de , é dado por:

Passo 5

Para encontrar a equação do plano, precisamos de um vetor normal ao plano, ou seja, um vetor perpendicular ao plano. Podemos encontrar esse vetor normal calculando o produto vetorial entre os vetores diretores das retas n = vr times PQ = i & j & k 2 & 1 & 1 -1 & 3 & 3 e n = (1 cdot 3 - 1 cdot 3)i - (2 cdot 3 - 1 cdot (-1))j + (2 cdot 3 - 1 cdot (-1))k = (0)i - (7)j + (7)k .
Calculando o determinante:
Portanto, o vetor normal é .

Passo 6

Com o vetor normal nx(x - x0) + ny(y - y0) + nz(z - z0) = 0 e sabendo que o plano passa pelo ponto 0(x - 0) - 7(y + 1) + 7(z + 3) = 0 , podemos usar a forma geral da equação do plano:
-7y - 7 + 7z + 21 = 0
Substituindo os valores:
-7y + 7z + 14 = 0
Simplificando:
-y + z + 2 = 0
y - z - 2 = 0
Dividindo todos os termos por 7 para simplificar:
Multiplicando por -1 para deixar a equação com coeficientes positivos:

Resposta

A equação geral do plano é .

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