Determinar a equação geral dos planos nos seguintes casos:
(i) contém as retas e ;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a equação geral de um plano que contém duas retas específicas. Aqui, estamos trabalhando com Geometria Analítica, que lida com representações geométricas usando coordenadas e equações. Para resolver, vamos precisar entender como encontrar a equação de um plano a partir de duas retas que ele contém.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as retas dadas no problema. A reta está representada por:
E a reta é:
Essas equações estão na forma simétrica, que nos ajuda a identificar um ponto e um vetor diretor para cada reta.
Passo 3
Vamos encontrar um ponto e um vetor diretor para cada reta.
Para a reta :
Podemos escrever as equações paramétricas da reta :
Então, um ponto na reta é quando , e o vetor diretor é .
Para a reta :
Escrevendo as equações paramétricas da reta :
Um ponto na reta é quando , e o vetor diretor é .
Passo 4
Agora, precisamos encontrar um vetor que une os pontos e . Esse vetor, que chamaremos de , é dado por:
Passo 5
Para encontrar a equação do plano, precisamos de um vetor normal ao plano, ou seja, um vetor perpendicular ao plano. Podemos encontrar esse vetor normal calculando o produto vetorial entre os vetores diretores das retas e .
Calculando o determinante:
Portanto, o vetor normal é .
Passo 6
Com o vetor normal nx(x - x0) + ny(y - y0) + nz(z - z0) = 0 e sabendo que o plano passa pelo ponto 0(x - 0) - 7(y + 1) + 7(z + 3) = 0 , podemos usar a forma geral da equação do plano:
-7y - 7 + 7z + 21 = 0
Substituindo os valores:
-7y + 7z + 14 = 0
Simplificando:
-y + z + 2 = 0
y - z - 2 = 0
Dividindo todos os termos por 7 para simplificar:
Multiplicando por -1 para deixar a equação com coeficientes positivos: