Sejam e .
(b) Determine a equação do plano que contém os pontos e ;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrarmos a equação de um plano que passa pelos pontos , e . Isso envolve o conteúdo de Geometria Analítica, especificamente sobre planos no espaço tridimensional. Para resolver, vamos precisar identificar vetores que estão no plano e, a partir deles, determinar a normal ao plano. Depois, usaremos essa normal para montar a equação do plano.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar dois vetores que estão no plano . Podemos fazer isso subtraindo as coordenadas dos pontos , e . Vamos calcular os vetores e :
Passo 3
Agora que temos os vetores e , precisamos encontrar um vetor que seja perpendicular a ambos, ou seja, o vetor normal ao plano . Isso é feito calculando o produto vetorial ():
Calculando o determinante:
Então, o vetor normal ao plano é .
Passo 4
Com o vetor normal A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0 e sabendo que o plano 2(x - 1) - 1(y - 2) + 2(z - 0) = 0 passa pelo ponto , podemos usar a equação geral do plano:
Onde são as componentes do vetor normal e são as coordenadas de um ponto no plano. Substituindo:
Passo 5
Agora, vamos simplificar a equação:
2x - 2 - y + 2 + 2z = 0
2x - y + 2z = 0
Resposta
A equação do plano 2x - y + 2z = 0 que contém os pontos , e é: