Sejam A=(1,0,-1), B=(1,2,0), C=(2,2,-1) e D=(1,4,1).
(b) Determine a equação do plano pi que contém os pontos B, C e D;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrarmos a equação de um plano que passa pelos pontos , e . Isso envolve o conteúdo de Geometria Analítica, especificamente sobre planos no espaço tridimensional. Para resolver, vamos precisar identificar vetores que estão no plano e, a partir deles, determinar a normal ao plano. Depois, usaremos essa normal para montar a equação do plano.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar dois vetores que estão no plano BC = C - B = (2-1, 2-2, -1-0) = (1, 0, -1) . Podemos fazer isso subtraindo as coordenadas dos pontos BD = D - B = (1-1, 4-2, 1-0) = (0, 2, 1) , e . Vamos calcular os vetores e :

Passo 3

Agora que temos os vetores n = BC times BD = i & j & k 1 & 0 & -1 0 & 2 & 1 e n = i(0 cdot 1 - (-1) cdot 2) - j(1 cdot 1 - (-1) cdot 0) + k(1 cdot 2 - 0 cdot 0) , precisamos encontrar um vetor que seja perpendicular a ambos, ou seja, o vetor normal ao plano n = i(0 + 2) - j(1 - 0) + k(2 - 0) . Isso é feito calculando o produto vetorial ( n = 2i - 1j + 2k ):
Calculando o determinante:
Então, o vetor normal ao plano é .

Passo 4

Com o vetor normal A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0 e sabendo que o plano 2(x - 1) - 1(y - 2) + 2(z - 0) = 0 passa pelo ponto , podemos usar a equação geral do plano:
Onde são as componentes do vetor normal e são as coordenadas de um ponto no plano. Substituindo:

Passo 5

Agora, vamos simplificar a equação:
2x - 2 - y + 2 + 2z = 0
2x - y + 2z = 0

Resposta

A equação do plano 2x - y + 2z = 0 que contém os pontos , e é:

Exercícios relacionados

Obtenha uma equação geral da cônica dada abaixo por equações paramétricas
l x=7+13 cos theta y=-3+raiz3 sin theta, theta in[0,2 pi]
em seguida represente graficamente a cônica.
Determinar a equação geral dos planos nos seguintes casos:
(i) contém as retas r: x2=y+1=z+3 e s: x+14=y-22=z2;
Considere a quádrica S: 2 x^2+y^2+z^2-4 x-6 y+9=0 e o plano pi: x=1.
Determine a interseção de S com pi.
Considere as retas paralelas
r:(x, y, z)=(0,1,2)+t(3,-1,2) e s:(x, y, z)=(1,0,-1)+s(3,-1,2)
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