Determine a distancia entre os planos.
pi1:l x=10-2 h+t y=7+3 h z=-2+h-t pi2: 3 x+y+3 z-12=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a distância entre dois planos. O primeiro plano, , está definido de forma paramétrica, e o segundo, , está na forma geral da equação do plano. Para resolver isso, vamos precisar entender como transformar a forma paramétrica em uma equação geral e depois usar a fórmula da distância entre planos paralelos.

Passo 2

Primeiro, vamos transformar o plano pi1:l x=10-2 h+t y=7+3 h z=-2+h-t de sua forma paramétrica para a forma geral x = 10 - 2h + t Rightarrow t = x - 10 + 2h . A equação paramétrica de y = 7 + 3h Rightarrow h = y - 73 é:
z = -2 + h - t
Podemos reescrever essas equações em termos de z = -2 + y - 73 - (x - 10 + 2h) e 3x + y + 3z - 12 = 0 :
Substituindo e na equação de :
Simplificando e rearranjando, encontramos a equação geral de :

Passo 3

Agora, vamos observar que a equação de pi2: 3x + y + 3z -12=0 ficou exatamente igual à de :
Isso significa que os dois planos são, na verdade, o mesmo plano! Então, a distância entre eles é zero.

Resposta

A distância entre os planos e é .

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