Obtenha uma equação geral da cônica dada abaixo por equações paramétricas
l x=7+13 cos theta y=-3+raiz3 sin theta, theta in[0,2 pi]
em seguida represente graficamente a cônica.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um sistema de equações paramétricas que define uma cônica. Nosso objetivo aqui é transformar essas equações paramétricas em uma equação geral da cônica, ou seja, uma equação que relacione e diretamente. Para isso, vamos precisar usar um pouco de álgebra para eliminar o parâmetro .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar as equações que temos:
x = 7 + 13 cos theta y = -3 + raiz3 sin theta
Queremos eliminar o dessas equações para achar uma relação direta entre e .

Passo 3

Para eliminar o x - 7 = 13 cos theta Rightarrow cos theta = x - 713 , vamos isolar as funções trigonométricas nas duas equações. Vamos começar rearranjando cada equação:
Para y + 3 = raiz3 sin theta Rightarrow sin theta = y + 3raiz3 :
Para :

Passo 4

Sabemos que, para qualquer ângulo sin^2 theta + cos^2 theta = 1 , a identidade trigonométrica vale:
( x - 713 )^2 + ( y + 3raiz3 )^2 = 1
Vamos substituir as expressões que encontramos para e nessa identidade:

Passo 5

Agora, vamos simplificar essa equação para deixá-la na forma padrão de uma elipse:
(x - 7)^213^2 + (y + 3)^2(raiz3)^2 = 1 Rightarrow (x - 7)^2169 + (y + 3)^23 = 1
Essa é a equação geral da cônica, que no caso é uma elipse.

Resposta

A equação geral da cônica é:
(x - 7)^2169 + (y + 3)^23 = 1
Para representar graficamente essa elipse, identificamos o centro no ponto , o eixo maior tem comprimento ao longo do eixo , e o eixo menor tem comprimento ao longo do eixo . Assim, desenhando a elipse com esses parâmetros, teremos a representação gráfica desejada.

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