Obtenha uma equação geral da cônica dada abaixo por equações paramétricas
em seguida represente graficamente a cônica.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um sistema de equações paramétricas que define uma cônica. Nosso objetivo aqui é transformar essas equações paramétricas em uma equação geral da cônica, ou seja, uma equação que relacione
e
diretamente. Para isso, vamos precisar usar um pouco de álgebra para eliminar o parâmetro
.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar as equações que temos:
Queremos eliminar o
dessas equações para achar uma relação direta entre
e
.
Passo 3
Para eliminar o
, vamos isolar as funções trigonométricas nas duas equações. Vamos começar rearranjando cada equação:
Para
:
Para
:
Passo 4
Sabemos que, para qualquer ângulo
, a identidade trigonométrica vale:
Vamos substituir as expressões que encontramos para
e
nessa identidade:
Passo 5
Agora, vamos simplificar essa equação para deixá-la na forma padrão de uma elipse:
Essa é a equação geral da cônica, que no caso é uma elipse.
Resposta
A equação geral da cônica é:
Para representar graficamente essa elipse, identificamos o centro no ponto
, o eixo maior tem comprimento
ao longo do eixo
, e o eixo menor tem comprimento
ao longo do eixo
. Assim, desenhando a elipse com esses parâmetros, teremos a representação gráfica desejada.
Exercícios relacionados
Determinar a equação geral dos planos nos seguintes casos:
(i) contém as retas e
;
(i) contém as retas
Encontre a equação geral da parábola que tenha foco
e vértice
, em seguida esboce o gráfico.
Sejam
e
.
(b) Determine a equação do plano que contém os pontos
e
;
(b) Determine a equação do plano
Considere a quádrica
e o plano
.
Determine a interseção de .
Determine a interseção de