Determinar a equação paramétrica da reta interseção dos planos
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação paramétrica da reta de interseção entre dois planos:
Isso envolve conhecimentos de álgebra linear, especificamente sobre como encontrar a linha onde dois planos se cruzam. Vamos precisar usar sistemas de equações para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever as equações dos planos de forma mais clara:
Queremos encontrar valores de
que satisfaçam ambas as equações ao mesmo tempo. Isso significa que estamos resolvendo um sistema linear com duas equações e três incógnitas.
Passo 3
Como temos mais incógnitas do que equações, a solução será uma reta (a interseção dos dois planos). Para encontrar a equação paramétrica da reta, vamos expressar duas das variáveis em função de uma terceira variável, que chamaremos de parâmetro. Vamos escolher
como parâmetro.
Vamos chamar
, onde
é um n��mero real que representa diferentes pontos na reta.
Passo 4
Com
, substituímos esse valor na equação (2) para encontrar uma relação entre
e
:
Agora, precisamos de outra equação que relacione
e
. Vamos usar a equação (1):
Passo 5
Agora temos um sistema com duas equações e duas incógnitas (
e
):
Vamos resolver esse sistema. Podemos somar as duas equações para eliminar
:
Passo 6
Agora que encontramos
em termos de
, vamos substituir esse valor na equação (3) para encontrar
:
Passo 7
Agora temos todas as variáveis em termos do parâmetro
:
Essas são as equações paramétricas da reta de interseção dos dois planos.
Resposta
A equação paramétrica da reta de interseção é: