Determinar a equação paramétrica da reta interseção dos planos

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação paramétrica da reta de interseção entre dois planos:
Isso envolve conhecimentos de álgebra linear, especificamente sobre como encontrar a linha onde dois planos se cruzam. Vamos precisar usar sistemas de equações para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as equações dos planos de forma mais clara:
Queremos encontrar valores de que satisfaçam ambas as equações ao mesmo tempo. Isso significa que estamos resolvendo um sistema linear com duas equações e três incógnitas.

Passo 3

Como temos mais incógnitas do que equações, a solução será uma reta (a interseção dos dois planos). Para encontrar a equação paramétrica da reta, vamos expressar duas das variáveis em função de uma terceira variável, que chamaremos de parâmetro. Vamos escolher como parâmetro.
Vamos chamar , onde é um n��mero real que representa diferentes pontos na reta.

Passo 4

Com , substituímos esse valor na equação (2) para encontrar uma relação entre e :
Agora, precisamos de outra equação que relacione e . Vamos usar a equação (1):

Passo 5

Agora temos um sistema com duas equações e duas incógnitas ( e ):
Vamos resolver esse sistema. Podemos somar as duas equações para eliminar :

Passo 6

Agora que encontramos em termos de , vamos substituir esse valor na equação (3) para encontrar :

Passo 7

Agora temos todas as variáveis em termos do parâmetro :
Essas são as equações paramétricas da reta de interseção dos dois planos.

Resposta

A equação paramétrica da reta de interseção é:

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Calcule, em radianos, a medida angular entre e .
(a)
(b)
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(d)
(e)