Determinar a equação paramétrica da reta interseção dos planos
pi1: 3 x-2 y-z=1 e pi2: x+2 y-z=3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação paramétrica da reta de interseção entre dois planos:
pi1: 3x - 2y - z = 1 e pi2: x + 2y - z = 3
Isso envolve conhecimentos de álgebra linear, especificamente sobre como encontrar a linha onde dois planos se cruzam. Vamos precisar usar sistemas de equações para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as equações dos planos de forma mais clara:
3x - 2y - z = 1 (1) x + 2y - z = 3 (2)
Queremos encontrar valores de que satisfaçam ambas as equações ao mesmo tempo. Isso significa que estamos resolvendo um sistema linear com duas equações e três incógnitas.

Passo 3

Como temos mais incógnitas do que equações, a solução será uma reta (a interseção dos dois planos). Para encontrar a equação paramétrica da reta, vamos expressar duas das variáveis em função de uma terceira variável, que chamaremos de parâmetro. Vamos escolher como parâmetro.
Vamos chamar , onde é um n��mero real que representa diferentes pontos na reta.

Passo 4

Com x + 2y - t = 3 Rightarrow x + 2y = 3 + t (3) , substituímos esse valor na equação (2) para encontrar uma relação entre 3x - 2y - t = 1 Rightarrow 3x - 2y = 1 + t (4) e :
Agora, precisamos de outra equação que relacione e . Vamos usar a equação (1):

Passo 5

Agora temos um sistema com duas equações e duas incógnitas ( x + 2y = 3 + t (3) 3x - 2y = 1 + t (4) e (x + 2y) + (3x - 2y) = (3 + t) + (1 + t) ):
4x = 4 + 2t Rightarrow x = 1 + t2
Vamos resolver esse sistema. Podemos somar as duas equações para eliminar :

Passo 6

Agora que encontramos (1 + t2) + 2y = 3 + t em termos de 2y = 3 + t - 1 - t2 = 2 + t2 , vamos substituir esse valor na equação (3) para encontrar y = 1 + t4 :

Passo 7

Agora temos todas as variáveis em termos do parâmetro x = 1 + t2 y = 1 + t4 z = t :
Essas são as equações paramétricas da reta de interseção dos dois planos.

Resposta

A equação paramétrica da reta de interseção é:
x = 1 + dfract2 y = 1 + dfract4 z = t

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