Questão 4. Em cada um dos seguintes itens, determine a equação da parábola a partir dos elementos dados:
c) eixo focal paralelo a O y e os pontos P(0,0), Q(1,-3) e R(-4,-8) pertencem ao seu gráfico;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa achar a equação de uma parábola cujo eixo focal é paralelo ao eixo Oy. Isso significa que a parábola vai ter a forma padrão y = a x^2 + b x + c. Para descobrir os valores de a, b e c, vamos usar os pontos que sabemos que estão na parábola: P(0,0), Q(1,-3) e R(-4,-8). Vamos precisar montar um sistema de equações com esses pontos para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos usar o ponto P(0,0). Substituindo x = 0 e y = 0 na equação y = a x^2 + b x + c, temos:
0 = a(0)^2 + b(0) + c 0 = c
Então, já sabemos que c = 0.

Passo 3

Agora, vamos usar o ponto Q(1,-3). Substituindo x = 1 e y = -3 na equação, temos:
-3 = a(1)^2 + b(1) + 0 -3 = a + b
Então, temos a primeira equação: a + b = -3.

Passo 4

Vamos usar o ponto R(-4,-8). Substituindo x = -4 e y = -8 na equação, temos:
-8 = a(-4)^2 + b(-4) + 0 -8 = 16a - 4b
Então, temos a segunda equação: 16a - 4b = -8.

Passo 5

Agora, temos o sistema de equações:
a + b = -3 16a - 4b = -8
Vamos resolver esse sistema. Primeiro, da primeira equação, podemos isolar b:
b = -3 - a

Passo 6

Substituímos b = -3 - a na segunda equação:
16a - 4(-3 - a) = -8 16a + 12 + 4a = -8 20a + 12 = -8
Agora, vamos resolver para a:
20a = -8 - 12 20a = -20 a = -1

Passo 7

Com a = -1, voltamos na equação b = -3 - a:
b = -3 - (-1) b = -3 + 1 b = -2

Passo 8

Agora que temos todos os coeficientes, podemos escrever a equação da parábola:
y = a x^2 + b x + c y = -1 x^2 - 2 x + 0 y = -x^2 - 2x

Resposta

A equação da parábola é:
y = -x^2 - 2x

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