Questão 3. A equação de uma circunferência é (x-3)^2+(y+4)^2=36. Mostre que o ponto (2,-5) se encontra no interior da circunferência e o ponto (-4,1) no exterior.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a equação de uma circunferência: (x-3)^2+(y+4)^2=36. Nosso objetivo aqui é mostrar que o ponto (2,-5) está dentro dessa circunferência e que o ponto (-4,1) está fora dela. Para isso, vamos usar conceitos básicos de geometria analítica, como a distância entre pontos e a interpretação da equação da circunferência.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar o centro da circunferência e o raio. A equação geral da circunferência é (x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2, onde (h,k) é o centro e r é o raio.
Então, comparando com a nossa equação:
  • Centro (h, k) = (3, -4)
  • Raio r = raiz36 = 6

Passo 3

Agora, vamos calcular a distância de cada ponto até o centro da circunferência. Se a distância for menor que o raio, o ponto está dentro; se for igual, está na circunferência; e se for maior, está fora.
A fórmula da distância entre dois pontos (x1, y1) e (x2, y2) é:
d = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2

Passo 4

Vamos aplicar a fórmula para o primeiro ponto (2, -5):
d = raiz(2 - 3)^2 + (-5 - (-4))^2 = raiz(-1)^2 + (-1)^2 = raiz1 + 1 = raiz2 approx 1,41
Como 1,41 < 6, o ponto (2, -5) está dentro da circunferência.

Passo 5

Agora, vamos para o segundo ponto (-4, 1):
d = raiz(-4 - 3)^2 + (1 - (-4))^2 = raiz(-7)^2 + (5)^2 = raiz49 + 25 = raiz74 approx 8,6
Aqui, 8,6 > 6, então o ponto (-4, 1) está fora da circunferência.

Resposta

O ponto (2,-5) está no interior da circunferência e o ponto (-4,1) está no exterior.

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